Изследване на сума за (абсолютна) конвергенция/дивергенция

[Davids]

$\sum_{n = 1}^{\infty}2^{-n}\Bigg(1 + \frac{(-1)^n}{n}\Bigg)^{n^2}$

Досега каквото съм направил е следното:
Дефинираме редица $a_n := 2^{-n}\Bigg(1 + \frac{(-1)^n}{n}\Bigg)^{n^2} = \Bigg( \frac{1}{2}\Big(1 + \frac{(-1)^n}{n}\Big)^n \Bigg)^n$

Дефинираме друга редица $b_n := \frac{1}{2}\Big(1 + \frac{(-1)^n}{n}\Big)^n$, тогава $a_n = (b_n)^n$.

Разглеждаме две подредици:
$b_{2k} := \frac{1}{2}(1 + \frac{1}{n})^n \longrightarrow \frac{e}{2}, ~~(k \to \infty)$
$b_{2k + 1} := \frac{1}{2}(1 - \frac{1}{n})^n \longrightarrow \frac{1}{2e},~~ (k \to \infty)$

Оттам заключваме, че $b_n$ дивергира. А сега какво правим?

[vezni]

От начина, по който си тръгнал, предполагам, че ползваш критерия на Коши (?) и почти си стигнал до края.
[tex]\sqrt[n]{a_n}=\frac{1}{2}\left(1+\frac{(-1)^n}{n}\right)^n=b_n[/tex] и после
[tex]\limsup_{n\to\infty}\frac{1}{2}\left(1+\frac{(-1)^n}{n}\right)^n=\frac{e}{2}>1 \Rightarrow[/tex] редът е разходящ според критерия на Коши
В случая се ползва варианта на критерия с [tex]\limsup[/tex], понеже границата на [tex]b_n[/tex] не съществува.
Друг вариант е да докажеш, че [tex]\lim_{n\to\infty}a_n\ne 0[/tex]

[Davids]

Това, което ме забърква мен, е наличието на сума (тъкмо започнахме да ги учим и ни бомбардираха яко със задачи). Под "ред" сумата ли разбираме, че ми се мешат малко терминологиите...? Т.е. по критерия на Коши можем да докажем, че е разходящ? Благодаря.

[vezni]

Да, ред е безкрайна сума. За сходимост / разходимост обикновено се ползват критерии - списъкът е доста дълъг, ако включим и някои по-малко известни. Може, естествено, директно с дефиницията, но този подход се ползва рядко. Относно задачата критерият на Коши е един вариант. Това, което беше написал, ме наведе на мисълта, че искаш с него да работиш. С други критерии също може би ще се получи разходимостта. Може и да се ползва факта, че сходим ред води до [tex]\lim_{n\to\infty} a_n=0[/tex] и значи трябва да покажеш, че [tex]\lim_{n\to\infty} a_n\ne0[/tex] (или не съществува), от което ще следва, че е разходим.

[Davids]

Това, което бях започнал, беше инициация към Коши, помеже на това ме наведе вида на реда. Само че допълнителната $n$-та степен малко развали купона и се задръстих. Ще го поразцъкам още малко и ще пиша с прогреса си.