Да се докаже или опровергае

[Davids]

а) Ако $\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ конвергира, то $\sum_{n=1}^{\infty}a_n^2$ също конвергира;

б) Ако $\sum_{n=1}^{\infty}a_n^2$ конвергира, то $\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ конвергира;

в) Ако $\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ конвергира абсолютно, то $\sum_{n=1}^{\infty}a_n^2$ също конвергира;

Първоначално бях на мнение, че а) е вярна, б) грешна и в) вярна... Но после се забърках с модулите и сега общо взето не се чувствам способен да съм сигурен... Щото стана каша. Ще споделя разстжденията си малко по-късно... Мнения дотогава?

[Добромир Глухаров]

Сигурно пропускам нещо, но ето какво измъдрих:

По критерия на Даламбер:

а) $\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=|L|<1\Rightarrow\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}^2}{a_n^2}=L^2<1$ - конвергира.

б) $\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}^2}{a_n^2}=L^2<1\Rightarrow\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=|L|<1$ - конвергира абсолютно, следователно конвергира.

в) $\lim_{n\to\infty}\frac{|a_{n+1}|}{|a_n|}=L<1\Rightarrow\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}^2}{a_n^2}=L^2<1$ - конвергира.

[Davids]

Сигурно пропускам нещо, но ето какво измъдрих:

По критерия на Даламбер:

а) $\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=|L|<1\Rightarrow\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}^2}{a_n^2}=L^2<1$ - конвергира.

б) $\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}^2}{a_n^2}=L^2<1\Rightarrow\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=|L|<1$ - конвергира абсолютно, следователно конвергира.

в) $\lim_{n\to\infty}\frac{|a_{n+1}|}{|a_n|}=L<1\Rightarrow\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}^2}{a_n^2}=L^2<1$ - конвергира.

Критерият на Даламбер важи в едната посока, т.е. ако $\lim_{n \to \infty}\frac{a_{n+1}}{a_n} = l < 1 \Rightarrow \sum_{n=1}^{\infty}a_n $ конвергира. Но дали важи обратното? Т.е., искам да кажа, че импликацията е едностранна по самия критерий, а имаме ли сведение за обратната посока на твърдението...?

Иначе каквото мисля аз:
а) $ \sum_{n=1}^{\infty}a_n$ конвергира, следователно $a_n \longrightarrow 0 (n \to \infty)$, следователно $0 < |a_n| < 1$ за всички $n \in \N$, по-големи от дадено $n_0$, следователно $a_n^2 < |a_n|$ за същите всички $n \ge n_0$, следователно $a_n^2 \longrightarrow 0$ и също $\sum_{n=1}^\infty a_n^2$ конвергира... Само че това щеше да е абсолютно издържано, ако важеше $a_n^2 < a_n$, а не $a_n^2 < |a_n|$. И именно тук се забърквам с модулите и примерно редове от алтерниращи или отрицателни редици, също клонящи към 0...

б) Това се опровергава тривиално с примера $a_n := \frac{1}{n}$.

в) Тук още не съм мислил...

[Добромир Глухаров]

Мисля, че с разсъжденията си по а) сте доказал в). А а) може би не е вярно, ако $\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ е алтернативен.

П. П.: Ами да! Ето: $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{\sqrt{n}}$ конвергира, понеже е алтернативен и общият член клони към нула, но $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}$ e разходящ.

[Davids]

Значи сме готови! Благодаря ти много за съидейничеството!