Степенен ред

[Петър Евгениев]

Здравейте.
[tex]\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(3n)!}{n!(2n+1)!}(x-3)^{n}[/tex]
[tex]\lim_{n \to \infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}} \right|=|x-3|\lim_{n \to \infty}\frac{27n^{3}+o(n)}{4n^{3}+o(n)}=|x-3|\frac{27}{4}[/tex]
Сега за [tex]|x-3|\frac{27}{4}<1 \Rightarrow x\in \left(\frac{77}{27}, \frac{85}{27} \right)[/tex] е интервала на абсолютна сходимост.
Радиуса на сходимост е ясен.
Сега изследването на краищата на интервала.
[tex]\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(3n)!}{n!(2n+1)!}\left(\frac{77}{27}-3 \right)^{n}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(3n)!}{n!(2n+1)!}\left(\frac{-4}{27} \right)^{n}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}(3n)!}{n!(2n+1)!}\left(\frac{4}{27} \right)^{n}[/tex] е за [tex]x=\frac{77}{27}[/tex], сега полагам
[tex]u_{n}=\frac{(3n)!}{n!(2n+1)!}\left(\frac{4}{27} \right)^{n}[/tex] и понеже [tex]\sum_{n=0}^{\infty}|(-1)^{n}u_{n}|=\sum_{n=0}^{\infty}u_{n}[/tex], ако по Раабе-Дюамел докажа, че [tex]\exist \lim_{n \to \infty}n \left(\frac{u_{n}}{u_{n+1}}\right)=\ell>1[/tex]
[tex]\Rightarrow \sum_{n=0}^{\infty}u_{n}[/tex] е сх. , но [tex]\sum_{n=0}^{\infty}u_{n}=\sum_{n=0}^{\infty}|(-1)^{n}u_{n}|[/tex], това значи, че "оригиналният" ред [tex]\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}u_{n}[/tex] е абс. сх. (и като го разпиша получавам, че и в двата края на интервала е абсолютно сходящ)

Тва с червеничкото са подчертаните тъпи въпроси. Тоест дали е правилно това.

[vezni]

Струва ми се, че при първото подчертано изречение е по-точно да се каже, че редът е абсолютно сходящ за този интервал, защото в крайна сметка интервалът на абсолютна сходимост е [tex]\left[\frac{77}{27},\frac{85}{27}\right][/tex] (затворен интервал). Иначе останалото ми се вижда правилно. Освен това критерият на Раабе е границата на [tex]n\left(\frac{u_n}{u_{n+1}}-1\right)[/tex] (печатна грешка?).

И освен това изследваш за абсолютна сходимост, не за обикновена сходимост. Това ли се иска в задачата? (в конкретния случай разлика няма, но в краищата на интервала е възможно един степенен ред да е условно сходящ)?

[Петър Евгениев]

Благодаря за отговора. Да печатна грешка е в критерия. И се иска да се изследва поведението на реда в краищата на интервала.
Абе една лема ме мъчеше за тва съм толко объркан. Ама май схванах.

Поздрави!