Степенен ред #2

[Davids]

Изгледах теорията, какво сме взимали и кое как е обяснено... но не схванах всичко. Затова, познавайки се, ще заложа на сигурен тертип: учене от практика. Ще може ли някой да разработи следния пример, за да проследя една структурирана мисъл по проблема и да усвоя подхода, понеже ми е напълно ново.
Ще ми е достатъчно да определим радиуса на сходимост и множеството от всички $x \in \R$, за които редът е сходим.

$\sum_{n = 1}^\infty\frac{(n + 2)!}{n^n}x^{3n}$

По здравословни причини не съм в много добра кондиция и пропуснах малко от лекциите по въпроса, та много бих се радвал на малко разяснение посредством примера. Благодаря много и от сърце!

[ptj]

Поне докато учех в ПУ имаше прекрасни ръководства за решаване на задачи. Там освен цялата теория в сбит вид (факти) имаше указания за разделяне на задачите по типове и начин за решаване на всеки. Може би е добре да се разходиш до библиотеката и да потърсиш нещо подобно.

[Добромир Глухаров]

$\sum_{n=1}^\infty\frac{(n+2)!}{n^n}x^{3n}=\sum_{n=1}^\infty u_n(x)$

$\frac{u_{n+1}(x)}{u_n(x)}=\frac{\frac{(n+3)!}{(n+1)^{n+1}}\cdot x^{3(n+1)}}{\frac{(n+2)!}{n^n}\cdot x^{3n}}=\frac{n+3}{n+1}\cdot\frac{1}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n}\cdot x^3$

$\lim_{n\to\infty}\frac{u_{n+1}(x)}{u_n(x)}=\frac{x^3}{e}$

За случаите, когато $\lim_{n\to\infty}\left|\frac{u_{n+1}(x)}{u_n(x)}\right|<1\Rightarrow\frac{|x|^3}{e}<1\Rightarrow|x|<\sqrt[3]{e}$, редът конвергира по Даламбер.

За случаите, когато $\lim_{n\to\infty}\left|\frac{u_{n+1}(x)}{u_n(x)}\right|>1\Rightarrow|x|>\sqrt[3]{e}$, редът дивергира пак по Даламбер.

За $x=\sqrt[3]{e}\Rightarrow\frac{u_{n+1}(x)}{u_n(x)}=\frac{n+3}{n+1}\cdot\frac{e}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n}>1\Rightarrow$ по Даламбер редът дивергира.

За $x=-\sqrt[3]{e}$ редът е алтернативен, общият член $u_n(-\sqrt[3]{e})=\frac{(n+2)!}{n^n}\cdot(-e)^n=(n+2)(n+1).(-1)^n\cdot\frac{n!}{n^n}\cdot e^n\sim(-1)^n.n^2\cdot\sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n\cdot\left(\frac{e}{n}\right)^n\sim(-1)^n\sqrt{2\pi}.n^{2,5}\to\pm\infty\Rightarrow$ редът дивергира.

При намиране границата на общия член за $x=-\sqrt[3]{e}$ сме използвали формулата на Стирлинг $n!\approx\sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n$

За $x\in\left(-\sqrt[3]{e};\sqrt[3]{e}\right)$ редът е сходящ, за $x\in(-\infty;-\sqrt[3]{e}]\cup[\sqrt[3]{e};+\infty)$ - разходящ.

[Davids]

За $x=\sqrt[3]{e}\Rightarrow\frac{u_{n+1}(x)}{u_n(x)}=\frac{n+3}{n+1}\cdot\frac{e}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n}>1\Rightarrow$ по Даламбер редът дивергира.

Благодаря ти за невероятното решение! Имам само въпрос от цитираната част. Получил си, че модулът от частното е винаги по-голям от 1, но той все пак клони към 1, което би следвало да значи, че не е възможно заключение... Или? Благодаря отново!

[Добромир Глухаров]

За $x=\sqrt[3]{e}\Rightarrow\frac{u_{n+1}(x)}{u_n(x)}=\frac{n+3}{n+1}\cdot\frac{e}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n}>1\Rightarrow$ по Даламбер редът дивергира.

Благодаря ти за невероятното решение! Имам само въпрос от цитираната част. Получил си, че модулът от частното е винаги по-голям от 1, но той все пак клони към 1, което би следвало да значи, че не е възможно заключение... Или? Благодаря отново!

Здравейте!
Извинете, че пиша толкова късно, не си бях отварял и-мейлите.
Критерият на Даламбер е Теорема с две подточки, поне в моите учебници. Първата дава достатъчно условие за сходимост: $\frac{u_{n+1}}{u_n}\leq q<1,\forall n\geq n_0$
Втората - достатъчно условие за разходимост: $\frac{u_{n+1}}{u_n}\geq1,\forall n\geq n_0$
Може би понеже е по-лесно да се работи с границата, обикновено се използва тя.
А в доказателството се използва сравнение с геометрична прогресия.