твърдение

[Петър Евгениев]

Здрвейте, колеги.
Опитвам се да докажа, следното твърдение: ако [tex]\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{u_{n}}=\ell[/tex], то и [tex]\lim_{n \to \infty} \frac{u_{n+1}}{u_{n}}=\ell[/tex]
Пробвах да излезе от дефиницията за граница.
[tex]\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{u_{n}}=\ell \Leftrightarrow \forall \epsilon > 0, \exist N: \forall n \geqslant N : |\sqrt[n]{u_{n}}-l|<\epsilon[/tex]
[tex]\ell-\epsilon<\sqrt[n]{u_{n}} < \ell+\epsilon[/tex].
А от другото условие:
[tex]\ell'-\epsilon < \frac{u_{n+1}}{u_{n}} < \ell'+\epsilon[/tex]
Пробвах разни работи да искарам [tex]\ell \equiv \ell'[/tex], но явно не съм постигнал голям прогрес.

[vezni]

Импликацията е точно в обратната посока, тоест ако [tex]\frac{u_{n+1}}{u_n}\to l[/tex], то и [tex]\sqrt[n]{u_n}\to l[/tex]. За да е вярна твоята посока, трябва предварително да знаем, че [tex]\lim_{n\to\infty}\frac{u_{n+1}}{u_n}[/tex] съществувава, защото има редици, за които [tex]\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{u_n}[/tex] съществува, а [tex]\lim_{n\to\infty}\frac{u_{n+1}}{u_n}[/tex] не съществува (даже и да позволим [tex]\pm\infty[/tex] да са възможни стойности на границите).