Изследване на функция

[integer]

Някой може ли да ми помогне с тази задача:

Да се изследва функцията и да се построи графиката й:
[tex]f(x)= \frac{x}{x^2+1}[/tex]

ПС: Намерих Д.О. :[tex]x\in (-\infty , +\infty )[/tex]
Също така и асимптотите:
[tex]\lim_{x\to\infty}\frac{x}{x^2+1} =\frac{x}{x(x+\frac{1}{x})}=\frac{1}{x}=0
=>[/tex] няма вертикална асимптота[tex]=> x=0[/tex] е хоризонтална асимптота[tex]k=\lim_{x\to\infty}\frac{x}{x^2+1}/x=\lim_{x\to\infty}\frac{x}{x^3+x}=[\frac{\infty}{\infty}]=\lim_{x\to\infty}\frac{x}{x^3(1+\frac{1}{x^2})}=\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x^2}=0
=>[/tex]няма наклонена асимптота
И четността:
[tex]f(x) = \frac{x}{x^2+1}[/tex]
[tex]f(-x) = \frac{-x}{(-x)^2 + 1} = -\frac{x}{x^2+1}
=> f(x)\neq f(-x) => f(x) \eq -f(-x) =>[/tex] функцията е нечетна

Нататък запецнах. Трябва да намеря още периодичността, растене, намаляване, екстремуми, изпъкналост, вдлъбнатост, инфл. точка, пресечени точки със осите Oy, Ox, пресечена точка с хор. асимптота, с наклонена асимптота(ако има) и графика.
Моля, ако някой помогне ще съм му длъжен! Благодаря

[martin123456]

a) пердиодичност
да допуснем че е периодична с период [tex]T[/tex]=>[tex]f(x)=f(x+T) \forall x[/tex]. при [tex]x=0[/tex]=>[tex]x=-T[/tex]=>[tex]T=0[/tex]=>не е периодична.
б) растене, намалване
[tex]f'(x)=\frac{x^2+1-2x^2}{(x^2+1)^2}=\frac{1-x^2}{(x^2+1)^2}[/tex]=> [tex]f'(x) =0 \Leftrightarrow x = \pm 1[/tex]. тъй като [tex]x \in (-1,1)[/tex]=>[tex]f'(x) > 0[/tex], a иначе [tex]f'(x)<0[/tex]=>[tex]f \uparrow x \in (-1,1)[/tex] и [tex]f \downarrow x \in (-\infty,-1) \cup (1, +\infty)[/tex].
в) екстрeмуми
[tex]f'(x)=0 \Leftrightarrow x =\pm 1[/tex]. тък като расте в [tex](-1,1)[/tex]=> лок максимум в [tex]x=1[/tex], [tex]f(1)=\frac{1}{2}[/tex] и лок минимум в [tex]x=-1[/tex], [tex]f(-1)=-\frac{1}{2}[/tex].
г) изпъкналост, вдлъбнатост, инфлексия
[tex]f''(x)=\frac{-2x(x^2+1)^2-2x(1-x^2)2(x^2+1)}{(x^2+1)^4}=\frac{-2x(x^2+1)(-x^2+3)}{(x^2+1)^4}[/tex]=> изпъкнала при [tex]x(x^2-3) > 0[/tex] и вдлъбната иначе. инфлексия при [tex]x(x^2-3)=0[/tex]
д) пресечни точки с осите
1) с Ox: [tex]f(x)=0 \Leftrightarrow x=0[/tex]
2) с Oy: [tex]f(0)=0[/tex]