Да се намерят интервалите на непрекъснатост...

[Davids]

... на функцията:
$$f: \R \to \R, f(x) := \begin{cases} \frac{x^3 + 5x^2 + 3x - 9}{x^2 + 2x - 3}, x \in (-\infty; 3]\backslash \{-3, 1\} \\ e^{3-x} + 5, x \in (3; \infty) \\ 0, x = -3 \\ -2, x = 1 \end{cases}$$

Това, което успявам да направя засега, е следното:
$\frac{x^3 + 5x^2 + 3x - 9}{x^2 + 2x - 3} = x + 3$

Нека $a \in (-\infty; 3] \backslash \{-3, 1\}$, тогава:

$\lim_{x \to a}f(x) = \lim_{x \to a}x + 3 = a + 3 = f(a)$
Следователно в интервала функцията е непрекъсната.

Аналогично за $a \in (3; \infty)$
$\Rightarrow \lim_{x \to a}f(x) = \lim_{x \to a}e^{3 - x} + 5 = e^{3 - a} + 5 = f(a)$
следва, че функцията е непрекъсната и в този интервал.

Какво правим обаче с точките? Някое друго разяснение относно издържани практики в тази сфера ще бъде изключително полезно! Благодаря!

[vezni]

Рационални и експоненциални функции са непрекъснати в деф. си множество, откъдето следва, че [tex]f(x)[/tex] е непрекъсната за [tex]x\in(-\infty, -3)\cup (-3, 1)\cup (1, 3)\cup (3, \infty)[/tex], тоест проблемните точки са [tex]x=-3,1,3[/tex] и трябва да провериш дали функцията е непрекъсната в тях. По определение [tex]f(x)[/tex] е непрекъсната в точка [tex]x=c[/tex], ако [tex]\lim_{x\to c}f(x)=f(c)[/tex].
За [tex]x=3[/tex] се разглежда лява и дясна граница, понеже функцията е зададена с различни изрази: [tex]\lim_{x\to3^{-}}f(x)=\lim_{x\to3^{-}}(x+3)=6[/tex] и [tex]\lim_{x\to3^{+}}f(x)=\lim_{x\to3^{+}}(e^{3-x}+5)=6[/tex], значи [tex]\lim_{x\to 3}f(x)=6=f(3)[/tex] и [tex]f(x)[/tex] е непрекъсната в [tex]x=3[/tex].
По същия начин действаш и за останалите две, като при тух няма нужда от едностранни граници. Само [tex]x=1[/tex] е точка на прекъсване.

[Davids]

Рационални и експоненциални функции са непрекъснати в деф. си множество, откъдето следва, че [tex]f(x)[/tex] е непрекъсната за [tex]x\in(-\infty, -3)\cup (-3, 1)\cup (1, 3)\cup (3, \infty)[/tex], тоест проблемните точки са [tex]x=-3,1,3[/tex] и трябва да провериш дали функцията е непрекъсната в тях. По определение [tex]f(x)[/tex] е непрекъсната в точка [tex]x=c[/tex], ако [tex]\lim_{x\to c}f(x)=f(c)[/tex].
За [tex]x=3[/tex] се разглежда лява и дясна граница, понеже функцията е зададена с различни изрази: [tex]\lim_{x\to3^{-}}f(x)=\lim_{x\to3^{-}}(x+3)=6[/tex] и [tex]\lim_{x\to3^{+}}f(x)=\lim_{x\to3^{+}}(e^{3-x}+5)=6[/tex], значи [tex]\lim_{x\to 3}f(x)=6=f(3)[/tex] и [tex]f(x)[/tex] е непрекъсната в [tex]x=3[/tex].
По същия начин действаш и за останалите две, като при тух няма нужда от едностранни граници. Само [tex]x=1[/tex] е точка на прекъсване.

Благодаря, получих същото, след като се поблъсках малко с дефинициите.