Да се докаже еквивалентност

[Davids]

Нека имаме функцията $f: \R \to \R$, за която важи $f(0) = -1$ и $f(x + y) \le -f(x)f(y) ~~~\forall x,y \in \R$. Да се докаже следната еквивалентност:
$f$е непрекъсната в $\R \Leftrightarrow f$ е непрекъсната в $0$

Това, което смятам, че може да е полезно за задачата и до което достигнах, е следното: $f(0) = -1 = f(x - x) \le -f(x)f(-x) \Rightarrow f(x)f(-x) \le 1$. Не знам какво ми носи, но ми изглежда важно. Идеи? Благодаря предварително!

[vezni]

Ето упътване за обратната посока. Трябва да докажем, че [tex]\lim_{x\to a}f(x)=f(a)[/tex]. Полагаме [tex]t=x-a\to 0[/tex] при [tex]x\to a[/tex] и
[tex]\lim_{x\to a}f(x)=\lim_{t\to 0}f(t+a)[/tex].От даденото свойство следва, че [tex]f(t+a)\leq -f(t)(a)[/tex] и също [tex]-f(t+a)f(-t)\geq f(a)[/tex]. Второто е еквивалентно на [tex]f(t+a)\geq -\frac{f(a)}{f(-t)}[/tex] за стойности на [tex]t[/tex], достатъчно близки до [tex]0[/tex] (защо?).

[ptj]

Остави [tex]y[/tex] да клони към [tex]0[/tex] и допусни че има подредица на [tex]y[/tex], чиито функционални стойности клонят към число различно от (-1).

Запиши си даденото свойство за тях и ще видиш противоречие.

[Davids]

Ето упътване за обратната посока. Трябва да докажем, че [tex]\lim_{x\to a}f(x)=f(a)[/tex]. Полагаме [tex]t=x-a\to 0[/tex] при [tex]x\to a[/tex] и
[tex]\lim_{x\to a}f(x)=\lim_{t\to 0}f(t+a)[/tex].От даденото свойство следва, че [tex]f(t+a)\leq -f(t)(a)[/tex] и също [tex]-f(t+a)f(-t)\geq f(a)[/tex]. Второто е еквивалентно на [tex]f(t+a)\geq -\frac{f(a)}{f(-t)}[/tex] за стойности на [tex]t[/tex], достатъчно близки до [tex]0[/tex] (защо?).

Това, което разбрах:
Ясно е, че трябва да докажем $\lim_{x \to a}f(x) = f(a) ~~~\forall a \in \R$.
Полагаме $t = x - a \Rightarrow x = t + a$ и $t \to 0$ при $x \to a$.
Тогава $\lim_{x \to a}f(x) = \lim_{t\to 0}f(t+a)$.

Първата част ми стана ясна: ползваме неравенството и достигаме до $f(t + a) \le -f(t)f(a) \Leftrightarrow \lim_{t\to 0}f(t + a) \le \lim_{t\to 0} -f(t)f(a) = f(a)$

Втората част обаче не разбрах никак. Остана да докажем обратната посока, т.е. че $\lim_{t\to 0}f(t+a) \ge f(a)$, и сме готови.
Това наистина следва от $f(t + a) \ge -\frac{f(a)}{f(-t)}$, но точно този момент ми се губи... как стигаме до това неравенство?

Благодаря много отново!

[Davids]

Развих следното решение:

Ясно е, че трябва да докажем $\lim_{x \to a}f(x) = f(a) ~~~\forall a \in \R$.
Полагаме $t = x - a \Rightarrow x = t + a$ и $t \to 0$ при $x \to a$.
Тогава $\lim_{x \to a}f(x) = \lim_{t\to 0}f(t+a)$.

Първата част ми стана ясна: ползваме неравенството и достигаме до $f(t + a) \le -f(t)f(a) \Leftrightarrow \lim_{t\to 0}f(t + a) \le \lim_{t\to 0} -f(t)f(a) = f(a)$

Втората част обаче не разбрах никак. Остана да докажем обратната посока, т.е. че $\lim_{t\to 0}f(t+a) \ge f(a)$, и сме готови.

Ползваме именно, че $f(a) = f(a + t - t) \le -f(a + t)f(-t)$
$\Leftrightarrow \lim_{t \to 0}f(a) \le \lim_{t\to 0}\Big[-f(a + t)f(-t)\Big] = \lim_{t\to 0}f(a + t)\lim_{t\to 0}\Big[-f(-t)\Big] = \lim_{t\to 0}f(a + t)$
$\Leftrightarrow f(a) \le \lim_{t\to 0}f(a + t)$, с което сме готови.

Единственото, което ме съмнява, е следното: можем ли да твърдим, че $\lim_{t\to 0}\Big[-f(-t)\Big] = -(-1) = 1$?

[ptj]

Ако умножиш с константа всеки член на сходяща редица (функция) колко е границата на новата редица (функция)?

[vezni]

Развих следното решение:

Ползваме именно, че $f(a) = f(a + t - t) \le -f(a + t)f(-t)$
$\Leftrightarrow \lim_{t \to 0}f(a) \le \lim_{t\to 0}\Big[-f(a + t)f(-t)\Big] = \lim_{t\to 0}f(a + t)\lim_{t\to 0}\Big[-f(-t)\Big] = \lim_{t\to 0}f(a + t)$
$\Leftrightarrow f(a) \le \lim_{t\to 0}f(a + t)$, с което сме готови.

И така става, само че има една малка особеност. В твоята обосновка [tex]\lim_{t\to 0}f(a+t)[/tex] съществува, а предварително не знаем дали е така. За да приложиш теоремата на двамата полицаи, трябва функцията да е ограничена и от двете страни. Неравенството [tex]f(a)\leq -f(a+t)f(-t)[/tex] го разделяш на [tex]-f(-t)[/tex], което е положително за [tex]t[/tex] достатъчно близки до [tex]0[/tex], понеже [tex]f(0)=-1<0[/tex] и [tex]f[/tex] е непрекъсната в [tex]0[/tex]. Сега прибавяш и другото неравенство и вече можем да ползваме теоремата.

П.П. Друг вариант за корекция е да използваш [tex]\liminf[/tex] и [tex]\limsup[/tex] и оттам ще следва, че двете са равни на [tex]f(a)[/tex], значи и границата е толкова.