Доказателство, че функция е константна

[Davids]

Нека функцията $f: \R \to \R$ е непрекъсната в $0$ и нека съществува $a \in \R\backslash \{-1, 1\}$ със свойството $f(x) = f(ax) ~~~\forall x \in \R$. Да се докаже, че $f$ е константна функция.

Аз подхождам така (по идея от math exchange):
За $a = 0$ е тривиално, че $f(x) = f(0.x) = f(0) \Rightarrow f$ е константна

Нека приемем, че $a \ne 0$. Тогава важи, че $f(ax) = f(x) = f(\frac{ax}{a}) \Rightarrow f(x) = f(\frac{x}{a})$

Така получаваме, че $f(x) = f(ax) = f(\frac{x}{a})$, т.е. можем да приемем, че $|a| < 1$.

Сега ще докажем индуктивно, че $f(a^nx) = f(x) ~~~\forall n \in \N$:
1) За $n = 1$ имаме $f(ax) = f(x)$, което е вярно според даденото;
2) Приемаме, че за $n = k$ важи: $f(a^kx) = f(x)$
3) Доказваме, че $f(a^{k+1}x) = f(x)$:
$f(a^{k+1}x) = f(a.a^kx) = f(a^kx) = f(x)$

Готови сме. И понеже $\lim_{n\to \infty}a^n = 0$, то $f(0) = f(x)$.

Само в края на доказателството никак не съм сигурен, как мога да продължа, но индуктивната идея ми хареса. Как можем да използваме непрекъснатостта в 0, за да докажем, че $f(0) = f(x) \Rightarrow f$ е константна? Благодаря!

[ptj]

...
$f(a^{k+1}x) = f(a.a^kx) = f(a^kx) = f(x)$

Готови сме. И понеже $\lim_{n\to \infty}a^n = 0$, то $f(0) = f(x)$.

...

Не съм сигурен в коректността на последния ти ред, но може да го замениш със следното:

От равенството [tex]f(x.a^n)=f(x)[/tex] и непрекъснатостта в 0-лата, следва:

[tex]f(0)=\lim_{x.a^n\to0}f(x.a^n)=\lim_{x.a^n\to 0} f(x)=f(x)[/tex]



П.П. Ти на практика си използвал непрекъснатоста в [tex]0[/tex]-та, но не си я записал коректно (чрез граница) .
Без наличието на въпросната граница той (реда) би бил неверен.