Да се определи интервал на диференцируемост...

[Davids]

... на следната функция:
$f: \R \to \R, f(x) := \begin{cases} x^3 + x + \frac{1}{2}, x \in (-\infty, 0) \\ \frac{1}{2}(x + 1), x \in [0; 1) \\ 1 + log(\sqrt{x}), x \in [1; \infty) \end{cases}$

Как подхождам аз:
1) Имаме $\lim_{x \to 0^-}f(x) = \frac{1}{2} = \lim_{x \to 0^+}f(x) = f(0) \Rightarrow f$ е непрекъсната в 0;
2) Имаме $\lim_{x \to 1^-}f(x) = 1 = \lim_{x \to 1^+}f(x) = f(1) \Rightarrow f$ е непрекъсната в 1;

Следователно $f$ е диференцируема в $\R$ с производна:
$f'(x) = \begin{cases} 3x^2 + 1, x \in (-\infty, 0) \\ \frac{1}{2}, x \in [0; 1) \\ \frac{1}{2x}, x \in [1; \infty) \end{cases}$

Правилни ли са разсъжденията ми и това ли е нужнно за доказателството? Благодаря!

[ptj]

От дясно имаш три диференфируеми функции, сл. функцията ти е диференцируема за цялата дефиниционна област.

[Davids]

Нямаш нужда от никаква непрекъснатост в граничните точки.

От дясно имаш три диференфируеми функции, сл. функцията ти е диференцируема за цялата дефиниционна област.

Сигурни ли сме, че нямаме нужда от доказателства никакви за граничните точки? И аз първоначално така си го мислех, но пък без никаква обосновка ми се струва, че по изпити няма да се приеме така добре... Пък и излиза решение на един ред. Принципно ни карат всичко да доказваме, та явно параноясвам вече...

[ptj]

Това, което също трябва да провериш е дали стойностите на производните в граничните точки са равни.

Образно казано, трябва да има само по една допирателна към тях.

[Davids]

Това, което също трябва да провериш е дали стойностите на производните в граничните точки са равни.

Образно казано, трябва да има само по една допирателна към тях.

В случая това не е ли доста тривиално, понеже граничните точки са затворени в интервала от едната страна?
Т.е. примерно $f'(0) = \frac{1}{2}$ по дефиниция и нищо повече?

[ptj]

Тривиално, но трябва да се провери.

Представи си го графично:
Имаш три парчета от криви, които искаш да събереш в една, но стиковането м/у тях да е гладко.
Нали може да го направиш точно когато имаш дефинирани единствени допирателни в тези точки.

[Гост]

В нулата лявата и дясната производна не са равни. Следователно в нулата не е диференцируема. В единицата е.

[Davids]

Наистина се обърках... да видим какво съм разбрал за нулата сега.

Лявата производна в нулата е равна на $\lim_{x \to 0^-}\frac{f(x) - f(0)}{x - 0} = \lim_{x \to 0^-}\frac{f(x) - \frac{1}{2}}{x} = \lim_{x \to 0^-}\frac{x^3 + x + \frac{1}{2} - \frac{1}{2}}{x} = \lim_{x \to 0^-}x^2 + 1 = 1$.
Дясната производна в нулата е равна на $\lim_{x \to 0^+}\frac{f(x) - f(0)}{x - 0} = \lim_{x \to 0^+}\frac{f(x) - \frac{1}{2}}{x} = \lim_{x \to 0^+}\frac{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}x - \frac{1}{2}}{x} = \frac{1}{2}$
И затова двете производни не са равни, следователно не съществува производна в нулата, така ли?

Докато ако проверим аналогично единицата за двете производни, и двете ще са равни на $\frac{1}{2}$, та затова там има производна. Нали?

[Гост]

От дясно имаш три диференфируеми функции, сл. функцията ти е диференцируема за цялата дефиниционна област.

Доста странно твърдение

[ptj]

Чети вниУмателно, след това написах допълнение (за границите на производните в граничните точки).