Да се докаже диференцируемост в точка

[Davids]

Да се докаже, че функцията $f: \R \to \R$, дефинирана чрез $f(x) := \begin{cases} |x|^{\frac{5}{3}}sin(\frac{1}{|x|}), x \ne 0 \\ 0, x = 0 \end{cases}$ е диференцируема в 0 и да се определи производната в 0.

Лесно се доказва, че функцията е непрекъсната в 0.. Въпросът ми е, отново имаме две диференцируеми функции вдясно, означава ли това, че производната в 0 е равна на нула, т.е. $f'(0) = 0$ като следствие на факта, че $f(0) = 0$ и $f$ е непрекъсната? А какъв би бил иначе подходът?

[ptj]

Според мен е вярно:

Една функция е диференцируема в точка, тогава и само тогава:

1.) Функцията е непрекъсната в тази точка.
2.) За всяка лява и дясна околности на точката, не съдържащи самата нея, съответните лява и дясна производни на аргумента, клонящ към граничната точка са дефинирани и равни помежду си (крайно число).

-------------------------------------------------------------------------------------------------

С други думи без 1.) тази точка се явява отстранима точка на прекъсване.

[vezni]

Функция е диференцируема в точката [tex]a[/tex], ако границата [tex]\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}[/tex] съществува. В случая дясната граница е
[tex]\lim_{x\to 0^+}\frac{x^{5/3}\sin\frac 1x}{x}=\lim_{x\to 0^+}x^{2/3}\sin\frac 1x=0[/tex], понеже [tex]x^{2/3}\to 0[/tex] и [tex]\sin\frac 1x[/tex] е ограничена. Лявата граница е същата, защото функцията е четна. Тоест [tex]f'(0)=\lim_{x\to 0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=0[/tex].

П.П. Това, че функцията е непрекъсната, не носи никаква информация за диференцируемостта. Може например да е непрекъсната в някоя точка, но да не е диференцируема.

[ptj]

Vezni, съгласен съм с решението ти.

Но ако забележката за непрекъснатостта е към мен, не съм съгласен.
Критерия ми е за додефиниране на функция в отстранима точка на прекъсване на диференцируема функция. На практика той е близък до цитирания от теб.

По друг начин казано:
Ако функция е диференцируема в интервал, съдържащ точка на прекъсване, и съществуват лявата и дясна граници на производната на функцията, когато аргумента клони към тази точка, като те са равни на едно и също крайно число, то:
Фукцията може да се додефинира до непрекъсната производна в тази точка посредством додефиниране единствено непрекъснатостта на самата функция.

[vezni]

Всъщност забележката ми беше към следното изречение:

т.е. $f'(0) = 0$ като следствие на факта, че $f(0) = 0$ и $f$ е непрекъсната? А какъв би бил иначе подходът?

Davids се опитва да изведе, че [tex]f'(0)=0[/tex] от това, че [tex]f(0)=0[/tex] и [tex]f[/tex] е непрекъсната в [tex]0[/tex]. Само че това не е вярно. Например същите условия важат за [tex]g(x)=x\sin\left(\frac 1x\right)[/tex] при [tex]x\ne 0[/tex] и [tex]g(x)=0[/tex] при [tex]x=0[/tex]. Обаче [tex]g'(0)[/tex] не съществува.

[drago]

Една функция е диференцируема в точка, тогава и само тогава:

1.) Функцията е непрекъсната в тази точка.
2.) За всяка лява и дясна околности на точката, не съдържащи самата нея, съответните лява и дясна производни на аргумента, клонящ към граничната точка са дефинирани и равни помежду си (крайно число).

-------------------------------------------------------------------------------------------------

Това съждение не е вярно. По-точно това почервененото.

[ptj]

Можеш ли да конструираш контрапример?

[drago]

Разгледай една начупена линия, като трион назъбен, всеки зъб във форма на равностранен триъгълник със страна $\frac{1}{n^2}$, положен в/у абцисата и на разстояние $\frac{1}{n}$ от $0$. Тази ф-ция $f(x)$ е диферецеруема в $0$, $f'(0)=0$, но $f'(x)$ при $x\to 0$ няма граница. Ако искаш, може да загладиш зъбите, за да има навсякъде производна, пак няма да има граница.

Така, че като се иска да се провери диференцеруемостта в точка - има си дефиниция, най-добре така.

[ptj]

Разбирам за какво говориш.

Иначе правата посока на изказаното от мен твърдение е напълно достатъчна за тази задача.

Графично може да се интерпретира, че отстраняването на една точка не влияе на гладкостта на крива.