Меню
Използвайки теоремите за граница на функция, лесно се вижда, че;
[tex]\lim_{x \to -1} \frac{3x^2-x+1}{x^2-x-5}=-\frac{5}{3}[/tex], но в задачата се иска да се използва само определнието на Коши за граница на функция.
Достигнах до следното решение:
Задачата: Да се докаже чрез [tex]\epsilon-\delta[/tex] дефиницията че:
[tex]\lim_{x \to -1} \frac{3x^2-x+1}{x^2-x-5}=-\frac{5}{3}[/tex]
Решение: Опр: За [tex]\foral \epsilon>0, \exist \delta= \delta(\epsilon)>0[/tex],
такова че при [tex]|x-a|<\delta=>|f(x)-A|< \epsilon[/tex]
[tex]<=> \lim_{x \to a} f(x)=A[/tex]
[tex]a=-1,f(x)=\frac{3x^2-x+1}{x^2-x-5}, A=-\frac{5}{3}[/tex]
Нека [tex]\epsilon > 0[/tex], търсим [tex]\delta=\delta( \epsilon)>0[/tex], такова че при
[tex]|x-(-1)|=|x+1|<\delta => |\frac{3x^2-x+1}{x^2-x-5}-(-\frac{5}{3})|=|\frac{3x^2-x+1}{x^2-x-5}+\frac{5}{3}|< \epsilon[/tex].
1.)Разглеждаме ф-та: [tex]\varphi (x)=x^2-x-5[/tex].
Тогава [tex]f(x)=\frac{3x^2-x+1}{x^2-x-5}=\frac{3x^2-x+1}{\varphi (x)}[/tex]
[tex]\varphi (x)=x^2-x-5=0=>x_1=\frac{1-\sqrt{21}}{2},x_2=\frac{1+\sqrt{21}}{2}[/tex]
[tex]a=1>0, x_0=-\frac{b}{2a}=\frac{1}{2}=>MIN \varphi (x)=\varphi (x_0)=\varphi (\frac{1}{2})=-\frac{21}{4}[/tex].
Разстоянието от [tex]x_1, x_2[/tex] до[tex]-1[/tex] е:
[tex]|x_1-(-1)|=|\frac{1-\sqrt{21}}{2}+1|=|\frac{3-\sqrt{21}}{2}|=\frac{\sqrt{21}-3}{2}[/tex],
[tex]|x_2-(-1)|=|\frac{1+\sqrt{21}}{2}+1|=|\frac{3+\sqrt{21}}{2}|=\frac{3+\sqrt{21}}{2}[/tex],
но [tex]\frac{\sqrt{21}-3}{2}<\frac{3+\sqrt{21}}{2}[/tex]
=> числото [tex]\delta[/tex] трябва да изпълнява условието:
[tex]\delta<\frac{\sqrt{21}-3}{2}[/tex]
При [tex]\epsilon>0=>\delta=\frac{\sqrt{21}-3}{2}-\epsilon<\frac{\sqrt{21}-3}{2},[/tex]
[tex]=>i.) \delta=\frac{\sqrt{21}-3}{2}-\epsilon[/tex]
При така намереното [tex]\delta=\frac{\sqrt{21}-3}{2}-\epsilon[/tex],разглеждаме:
[tex]|f(x)-A|=|\frac{3x^2-x+1}{x^2-x-5}-(-\frac{5}{3})|=|\frac{3x^2-x+1}{x^2-x-5}+\frac{5}{3}|=...[/tex]
[tex]...=|\frac{2}{3}.\frac{7x^2-4x-11}{x^2-x-5}|=\frac{2}{3}.|\frac{7x^2-4x-11}{x^2-x-5}|=[/tex]
[tex]=\frac{2}{3}|\frac{7(x-\frac{11}{7})(x+1)}{x^2-x-5}|=\frac{2}{3}|\frac{(7x-11)(x+1)}{\varphi (x)}|\le \frac{2}{3}|\frac{(7x-11)(x+1)}{MIN\varphi (x)}|=\frac{2}{3}|\frac{(7x-11)(x+1)}{\varphi (x_0=\frac{1}{2})}|=[/tex]
[tex]=\frac{2}{3}|\frac{(7x-11)(x+1)}{-\frac{21}{4}}|=\frac{2}{3}\frac{|(7x-11)(x+1)|}{|-\frac{21}{4}|}=[/tex]
[tex]=\frac{2}{3}\frac{|(7x-11)(x+1)|}{\frac{21}{4}}=\frac{2}{3}.\frac{4}{21}|(7x-11)(x+1)|=[/tex]
[tex]=\frac{8}{63}|7x-11||x+1|<\frac{8}{63}|7x-11|.\delta[/tex],
защото [tex]|x+1|< \delta[/tex].
Резюме до тук:
При [tex]\epsilon>0, \exist \delta=\frac{\sqrt{21}-3}{2}-\epsilon[/tex], такова че при
[tex]|x-a|=|x+1|< \delta=>|f(x)-A|=|\frac{3x^2-x+1}{x^2-x-5}-(-\frac{5}{3})|<\frac{8}{63}|7x-11|.\delta[/tex]
Разглеждаме функцията: [tex]g(x)=7x-11[/tex].
Ще докажем, че: [tex]\lim_{x \to -1}(7x-11)=-18[/tex]
При [tex]\epsilon > 0[/tex], търсим [tex]\delta = \delta(\epsilon)>0[/tex], че при
[tex]|x-(-1)|=|x+1|<\delta =>|7x-11-(-18)|=|7x-11+18|=|7x+7|=|7(x+1)|=[/tex]
[tex]=|7||x+1|=7|x+1|<7\delta<\epsilon=>[/tex]
[tex]ii.)\delta=\frac{\epsilon}{7}[/tex]
[tex]\foral \epsilon>0, \exist \delta=\delta(\epsilon)=\frac{\epsilon}{7}>0[/tex], такова че при
[tex]|x+1|<\delta=>|7x-11+18|<\epsilon <=> -18-\epsilon<7x-11<-18+\epsilon (*)[/tex]
( т.е. доказахме, че [tex]\lim_{x \to -1}(7x-11)=-18[/tex]).
От [tex]i.)[/tex] и [tex]ii.) =>[/tex] при [tex]\delta=min\{ \frac{\sqrt{21}-3}{2}-\epsilon[/tex] ; [tex]\frac{\epsilon}{7}\}[/tex] и [tex](*) =>[/tex]
[tex]|f(x)-A|=[/tex]
[tex]=|\frac{3x^2-x-1}{x^2-x-5}-(-\frac{5}{3})|<\frac{8}{63}|7x-11|.\delta<\frac{8}{63}|-18+\epsilon|.\delta<[/tex]
[tex]<\frac{8}{63}[|-18|+|\epsilon|].\delta=\frac{8}{63}.\delta(18+\epsilon)=\epsilon[/tex]
[tex]iii.) \delta=\frac{63.\epsilon}{8.(18+\epsilon)}[/tex]
От [tex]i.); ii.); iii.)=>[/tex] за [tex]\foral \epsilon>, \exist \delta=\delta(\epsilon)=min\{\frac{\sqrt{21}-3}{2}-\epsilon[/tex] ; [tex]\frac{\epsilon}{7}[/tex] ; [tex]\frac{63.\epsilon}{8.(\epsilon+18)} \},[/tex] то
[tex]|\frac{3x^2-x-1}{x^2-x-5}-(-\frac{5}{3})|<\epsilon[/tex]<=>[tex]\lim_{x \to -1} \frac{3x^2-x-1}{x^2-x-5}=-\frac{5}{3}[/tex]
Край
п.п. с удоволствие бих приел забележки, препоръки или опровергаване на решението.
