Да се докаже еквивалентност

[Davids]

Дадени са реалният параметър $p > 0$, $f: \R \to \R$ с $f(x) = |x|^p$. Да се докаже еквивалентността:
$f$ е диференцируема в 0 $\Leftrightarrow p > 1$

Какво имам аз за първата посока на еквивалентността:
$"\Rightarrow"$: Знаем, че $f$ е диференцируема в нулата, следователно съществува границата $\lim_{x \to 0}\frac{f(x) - f(0)}{x - 0} = \lim_{x \to 0}\frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to 0}\frac{|x|^p}{x}$,
Т.е. двете граници:

$\lim_{x \to 0^-}\frac{|x|^p}{x} = \lim_{x \to 0^-}\frac{(-x)^p}{-(-x)} = \lim_{x \to 0^-}-(-x)^{p - 1}$

и

$\lim_{x \to 0^+}\frac{|x|^p}{x} = \lim_{x \to 0^+}x^{p-1}$

са равни, което значи (не съм сигурен), че границата е 0.

Сега се колебая как да продължа с доказателството, но мисълта ми основно е следната: при $p < 1$ и двете граници отиват в някоя безкрайност, а при $p = 1$ границата не съществува, защото двете граници са съответно равни на + и -1. Остава само и единствено $p > 1$, за да съществува границата. Правилни ли са разсъжденията ми? И какъв би бил подходът за обратната посока? Благодаря!

[Sup3rlum]

$f(x)=|x|^p$

$f'(0)=\lim_{x \to 0} \frac{|x|^{p}}{x}=\lim_{x \to 0} \frac{|x|^{p}}{sign(x)|x|}=\lim_{x \to 0} sign(x)|x|^{p-1}$ което на пръв поглед е недефенирано, но се разпада на две граници:

$f'(0)=\lim_{x \to 0^+} x^{p-1}$

$f'(0)=\lim_{x \to 0^+} -x^{p-1}=-\lim_{x \to 0^+} x^{p-1} = -f'(0)$

$\Rightarrow f'(0)=0$.

Гранита $\lim_{x \to 0} x^a$ съществува по $\epsilon-\delta$ само когато $a > 0 \Rightarrow p-1 > 0 \Rightarrow p > 1$ което е биекция, така че доказателството в обратната посока би трябвало да е еквивалентно