2 задачи от изпит пo анализ II

[tsuki114]

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Моля помогнете за тези задачки. Имам идеи и предположения по тях, но не съм сигурен.

1задача:
Нека редът[tex]\sum _{n=0} ^{\infty}[/tex] [tex]\frac{a_n}{6^n}[/tex]е сходящ, а редът [tex]\sum _{n=0} ^{\infty}[/tex] [tex]\frac{(-1)^{n-1}}{6^n}{a_n}[/tex] e разходящ.
a) Редът [tex]\sum _{n=0} ^{\infty}[/tex] [tex]\frac{a_n}{6^n}[/tex] е:
I)абсолютно сходящ;
II)условно сходящ;

б) Редът [tex]\sum _{n=0} ^{\infty}[/tex] [tex]\frac{a_n}{5^n}[/tex] е:
I)абсолютно сходящ;
II)условно сходящ;
III)разходящ;

в) Редът [tex]\sum _{n=0} ^{\infty}[/tex] [tex]\frac{a_n}{7^n}[/tex] е:
I)абсолютно сходящ;
II)условно сходящ;
III)разходящ;
г)Радиусът на сходимост на степенния ред [tex]\sum _{n=0} ^{\infty}[/tex] (n+1)*a_n*x^n e ?

2задача:
Нека f(x,y) = [tex]\frac{(2*x+3)^3 + x^2 + y^2}{x^2 + y^2 }[/tex] за (x,y) различно от (0,0) и f(0,0) = 1;

Док, че f(x,y) е непрекъсната в т.(0,0). Деференцируема ли е f(x,y) в т.(0,0)?
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Благодаря предварително. Нека да решаваме заедно.

[seppen]

Ако си представим, че [tex]a_n >0[/tex].
[tex]| \frac{a_n}{6^n} | = \frac{a_n}{6^n}[/tex] който по условие е сходящ и може би оттук следва, че а) отговорът е абсолютно сходящ.
За в) [tex]\frac{a_n}{7^n} < \frac{a_n}{6^n}[/tex] - пак абсолютно сходящ.
Притеснявам се, че не използвам второто условие. Най-вероятно греша. Ще трябва да сядаме да учим сериозно по тоя Анализ, че алкохолът и ФМИ на никого не прощават.

[tsuki114]

Да, но лошото е че не можем да си представим... и аз мисля, че е абсолютно сходящ, но не мога да се обоснова точно теоритически...

[tsuki114]

Хора помотнете?!?

[martin123456]

Наистина съм ги забравил тея неща и нямам време, че уча за мои изпити.
Но ето малко:
1 а)
нека [tex]\sum _{n=0} ^{\infty}[/tex] [tex]\frac{a_n}{6^n}[/tex] е абсолютно сходящ => е сходящ [tex]\sum _{n=0} ^{\infty}[/tex] [tex]|\frac{a_n}{6^n}|[/tex]=> e сходящ [tex]\sum _{n=0} ^{\infty}[/tex] [tex]\frac{(-1)^{n-1}}{6^n}{a_n}[/tex] (ако един ред е абсол сходящ, то той е сходящ). противоречие. => [tex]\sum _{n=0} ^{\infty}[/tex] [tex]|\frac{a_n}{6^n}|[/tex] e разходящ => [tex]\sum _{n=0} ^{\infty}[/tex] [tex]\frac{a_n}{6^n}[/tex] e условно сходящ.

[martin123456]

1в)
разглеждаме [tex]b_n=\frac{6^n}{7^n}[/tex]. имаме [tex]\frac{b_{n+1}}{b_n}=\frac{6^{n+1}7^n}{7^{n+1}6^n}=\frac{6}{7}<1[/tex]=>[tex]\{b_n\} \downarrow[/tex] и редицата е ограничена отдолу => [tex]\sum_{n=0}^{\infty}{b_n\frac{a_n}{6^n}}=\sum _{n=0} ^{\infty}{\frac{a_n}{7^n}}[/tex] е сходящ. Ако допуснем че е абс сходящ, то [tex]\sum _{n=0} ^{\infty}{(-1)^{n-1}\frac{a_n}{7^n}}[/tex] е сходящ. стигам дотук

[martin123456]

непрекъснатост: искаме следната граница да е 0: [tex]\lim_{\Delta x_1 \rightarrow 0, \Delta y_1 \rightarrow 0}{(f(\Delta x_1, \Delta y_1)-f(0,0))}=[/tex][tex]\lim_{\Delta x_1 \rightarrow 0, \Delta y_1 \rightarrow 0}{(\frac{(2\Delta x_1 +3)^3+\Delta x_1^2+ \Delta y_1^2}{\Delta x_1^2+\Delta y_1^2}-1)}=\lim_{\Delta x_1 \rightarrow 0, \Delta y_1 \rightarrow 0}{(\frac{(2\Delta x_1 +3)^3}{\Delta x_1^2+\Delta y_1^2})} \ne 0[/tex]. така че аз даже не получавам че е непрекъсната в (0,0)

[tsuki114]

а в а) защо мислиш, че от сходимостта на реда с модул следва, че реда с (-1) също и сходящ?

[martin123456]

Има т-ма: ако един ред е абсолютно сходящ, то той е сходящ.
отгоре [tex]\sum _{n=0} ^{\infty}[/tex] [tex]\frac{(-1)^{n-1}}{6^n}{a_n}[/tex] е абсолютно сходящ.

[martin123456]

1в)
разглеждаме [tex]b_n=\frac{6^n}{7^n}[/tex]. имаме [tex]\frac{b_{n+1}}{b_n}=\frac{6^{n+1}7^n}{7^{n+1}6^n}=\frac{6}{7}<1[/tex]=>[tex]\{b_n\} \downarrow[/tex] и редицата е ограничена отдолу => [tex]\sum_{n=0}^{\infty}{b_n\frac{a_n}{6^n}}=\sum _{n=0} ^{\infty}{\frac{a_n}{7^n}}[/tex] е сходящ. Ако допуснем че е абс сходящ, то [tex]\sum _{n=0} ^{\infty}{|\frac{a_n}{7^n}|}[/tex] е сходящ.

продължавам:
тъй като [tex]0<|\frac{a_n}{7^n}| < |\frac{a_n}{6^n}|[/tex]. Тъй като [tex]\frac{|a_n|6^n}{7^n|a_n|}=(\frac{6}{7})^n \rightarrow 0[/tex] мисля че това значи че редовете са едновременно сх или разходящи => тъй като по-горе получихме че едният е сх, а в 1а) че е разходящ другият => противоречие. => [tex]\sum _{n=0} ^{\infty}{\frac{|a_n|}{7^n}}[/tex] е разходящ => редът под въпрос е условно сходящ.

[martin123456]

1б
от 1а) получихме че [tex]\sum_{n=0}^{\infty}\frac{|a_n|}{6^n}[/tex] е разходящ. тъй като [tex]\frac{|a_n|}{6^n}<\frac{|a_n|}{5^n}[/tex], то [tex]\sum_{n=0}^{\infty}\frac{|a_n|}{5^n}[/tex] e разходящ. значи || или |||.

[tsuki114]

Мисля, че ги поразбрах, но е малка мъгла пак, но благодаря все пак за помощта.... На втора за непрекъснатостта изпилзвах, че ако limf(x,y)=f(x',y') t.(x',y') е непрекъсната и се получи.

[martin123456]

сорри, но не разбрах
както е дефинирана не е непрекъсната
за да е: трябва когато аргументите клонят към 0 да се получи резултат 1

[tsuki114]

Да това имах впредвид. Тази граница, която ти си я написал не я разбирам?!