Задача с асимптоти

[Dvstoyanov]

Здравейте, нуждая се от решение на тази задача:

Да се намери уравнението на наклонената асимптота към графика на функцията.

f(x) = [tex]\frac{ax^{2}-b}{x+b}[/tex]

Благодаря.

[Добромир Глухаров]

$y_{накл.\ асимпт.}=k.x+n$

$k=\lim_{x\to\pm\infty}\frac{f(x)}{x}=\lim_{x\to\pm\infty}\frac{ax-\frac{b}{x}}{x+b}=\lim_{x\to\pm\infty}\frac{a-\frac{b}{x^2}}{1+\frac{b}{x}}=a$

$n=\lim_{x\to\pm\infty}\left(f(x)-k.x\right)=\lim_{x\to\pm\infty}\left(\frac{ax^2-b}{x+b}-a.x\right)=\lim_{x\to\pm\infty}\frac{ax^2-b-ax^2-abx}{x+b}=\lim_{x\to\pm\infty}\frac{-\frac{b}{x}-ab}{1+\frac{b}{x}}=-ab$

$$y_{накл.\ асимпт.}=ax-ab$$

[Dvstoyanov]

Благодря отново.

[Sup3rlum]

$y_{накл.\ асимпт.}=k.x+n$

$k=\lim_{x\to\pm\infty}\frac{f(x)}{x}=\lim_{x\to\pm\infty}\frac{ax-\frac{b}{x}}{x+b}=\lim_{x\to\pm\infty}\frac{a-\frac{b}{x^2}}{1+\frac{b}{x}}=a$

$n=\lim_{x\to\pm\infty}\left(f(x)-k.x\right)=\lim_{x\to\pm\infty}\left(\frac{ax^2-b}{x+b}-a.x\right)=\lim_{x\to\pm\infty}\frac{ax^2-b-ax^2-abx}{x+b}=\lim_{x\to\pm\infty}\frac{-\frac{b}{x}-ab}{1+\frac{b}{x}}=-ab$

$$y_{накл.\ асимпт.}=ax-ab$$

Правилно решение, но ненужно сложно и не се подразбира как функцията се държи към границите под въпрос. Това трябва да стане ясно в момента в който човек разгледа такава рационална функция, без използване на граници.

$f(x)=\frac{ax^2-b}{x+b}=\frac{ax^2+axb-axb-b+ab-ab}{x+b}=ax-ab - \frac{b-ab}{x+b}$ Където в лимита следователно $\lim_{x \to \pm \infty}f(x) \to ax-ab$ защото реципрочното линейно отива към 0.

[Добромир Глухаров]

$\frac{ax^2-b}{x+b}=ax-ab+\frac{R}{x+b}$

$ax^2-b=ax^2+axb-abx-ab^2+R$

$\cancel{ax^2}-b=\cancel{ax^2}+\cancel{axb}-\cancel{abx}-ab^2+R$

$R=-b+ab^2=b(ab-1)$

$\Rightarrow\frac{ax^2-b}{x+b}=ax-ab+\frac{b(ab-1)}{x+b}$