[tex]\int\frac{dx}{1+tgx}[/tex]

[Гост]

[tex]\int\frac{dx}{1+tgx}[/tex]=?

[admin]

https://www.matematika.bg/reshavane-na- ... %28x%29%29

Но не успя да покаже стъпките.

[Петър Евгениев]

[tex]\int\frac{dx}{1+tgx}[/tex]=?

[tex]\int\frac{dx}{1+tgx}=\int\frac{cosx}{sinx+cosx}dx=\frac{1}{2}\int\frac{2cosx}{sinx+cosx}dx=\frac{1}{2}\int\left[\frac{2cosx}{sinx+cosx}dx-1+1\right][/tex]
[tex]=\frac{1}{2}\int\left[\frac{2cosx}{sinx+cosx}-\frac{sinx+cosx}{sinx+cosx}+1\right]dx=\frac{1}{2}\int\left[\frac{cosx-sinx}{sinx+cosx}+1\right]dx[/tex]
[tex]=\frac{1}{2}\int\frac{cosx-sinx}{sinx+cosx}+\frac{1}{2}\int dx[/tex].
За първия интеграл полагаме [tex]w:=sinx+cosx \Rightarrow dw=(cosx-sinx)dx[/tex]
[tex]=\frac{1}{2}\int\frac{dw}{w}+\frac{1}{2}x=\frac{ln|w|}{2}+\frac{x}{2}=\frac{1}{2}\left(ln|sinx+cosx|+x\right)+C[/tex]

[Knowledge Greedy]

Полагаме [tex]tgx=t[/tex]
Диференциалите
[tex]\frac{1}{cos^2x}dx=dt \,\ \Rightarrow \,\ dx=cos^2xdt[/tex]

Но [tex]cos^2x=\frac{1}{1+t^2}[/tex]
Следователно интегралът добива формата [tex]\int \frac{1}{(1+t)(1+t^2)}dt[/tex]
Разлагаме на елементарни дроби рационалната функция, която интегрираме
[tex]\frac{1}{2}\left ( \frac{t-1}{1+t^2}-\frac{1}{1+t} \right )[/tex] и резултатът е два логаритъма и един аркустангенс.
Остава да върнем полагането.