сходимост на една редица

[milki]

" Да се намерят всички реални числа [tex]\lambda[/tex] за коиито радицата е определена с [tex]a_{1 }=\lambda[/tex] и
[tex]a_{n+1 }=\frac{2(a_{n })^{2 }+a_{n }+2 }{a_{n }+4 }[/tex]. е сходяща и да се намери границата и"

Опитах ама до никъде не стигнах излезна ми че границата може да е или 1 или 2 и това не е вярно спрямо отговорите.

[martin123456]

ето как разсъждавах
за [tex]\lambda = 1[/tex] редицата е сходяща: [tex]\lambda = 1 \Rightarrow a_2=1 \Rightarrow a_3=1 \Rightarrow \cdots a_n=1 \cdots[/tex]. граница 1.
аналогично за [tex]\lambda=2 \Rightarrow a_n=2 \forall n[/tex]. граница 2.
после ясно че ако редицата е сходяща с граница [tex]l[/tex], то [tex]l=\frac{2l^2+l+2}{l+4} \Leftrightarrow l \in \{1,2\}[/tex].
[tex]f(x)=\frac{2x^2+x+2}{x+4}[/tex], [tex]f'(x)=\frac{2(x^2+8x+1)}{(x+4)^2}[/tex]=>[tex]f \uparrow x \in (-\infty, -4-\sqrt{15})\cup (-4+\sqrt{15}, +\infty)[/tex].
a) нека [tex]\lambda \in (1,2)[/tex]. [tex]f(x) \uparrow[/tex] => [tex]f(a_1) \in (f(1),f(2)) \equiv (1,2)[/tex]. по индукция => [tex]a_n \in (1,2)[/tex] и [tex]\{a_n\} \uparrow[/tex]=> растяща и ограничена редица => сходяща. границата е 2.
б) нека [tex]\lambda > 2[/tex]. [tex]f(x) \uparrow[/tex] => [tex]f(a_1)>2[/tex] и по индукция [tex]a_n >2[/tex] и [tex]\{a_n\} \uparrow[/tex]. имаме растяща редица с членове по големи от 2. но сме сметнали че ако тя е сходяща [tex]l \in \{1,2\}[/tex]=> не е сходяща.
предполагам другите случаи са нещо аналогично. дотук получихме че [tex]\lambda \in [1,2][/tex] ни устройва.

[milki]

не знаех че може да се определи функция ...

P1010448.JPG (1.16 MiB) Прегледано 297 пъти

е това е дето ми хрумна ... може ли така???