Определени интеграли

[Гост]

a) [tex]\int\limits_{0}^{1}[/tex] x.arctgx dx

б) [tex]\int\limits_{-1}^{0}[/tex] (2x+3) [tex]e^{-x}[/tex] dx

в) [tex]\int\limits_{-5}^{-1}[/tex][tex]\frac{dx}{x^{2}+6x+13}[/tex]

[Knowledge Greedy]

в) [tex]\int \frac{1}{x^2+6x+13}dx=\int\frac{1}{(x+3)^2+4}dx=\int\frac{1}{4}\frac{1}{\left ( \frac{x+3}{2} \right )^2+1}dx[/tex]

[tex]=\frac{1}{2} \int\frac{1}{1+\left ( \frac{x+3}{2} \right )^2}d\left ( \frac{x+3}{2} \right )= \frac{1}{2}arctg \frac{x+3}{2} +C[/tex]

Означаваме [tex]F(x)=\frac{1}{2}arctg \frac{x+3}{2}[/tex]

Следователно [tex]\int\limits_{-5}^{-1}\frac{dx}{x^2+6x+13}=F(-1)-F(-5) =\frac{1}{2} \left [arctg1 - arctg(-1) \right ]=\frac{1}{2}\left ( \frac{\pi}{4}- \frac{-\pi}{4} \right )=\frac{\pi}{4}[/tex]

[Knowledge Greedy]

б) [tex]\int (2x+3)e^{-x}dx[/tex] се решава "по части".
[tex]\int (2x+3)e^{-x}dx= - \int (2x+3)de^{-x}= -(2x+3)e^{-x}+\int e^{-x}d(2x+3)=-(2x+3)e^{-x}-2\int e^{-x}dx=-(2x+3)e^{-x}-2\int e^{-x}d(-x)=-(2x+3)e^{-x}-2 e^{-x}+C=[/tex]
[tex]=-(2x+5)e^{-x}+C[/tex]
Определеният [tex]\int\limits_{-1}^{0}(2x+3)e^{-x}dx=-(2x+5)e^{-x}|_{-1}^{0}=-5e^0-\left [-2((-1)+5)e^1 \right ]=3e-5[/tex]

в) Тази също решаваме "по части", като за целта първо правим "гамбитен ход" - вкарваме [tex]x[/tex] в диференциала.
Неопределеният.[tex]\int xarctgxdx=\frac{1}{2}\int arctgxdx^2=\frac{1}{2}x^2arctgx-\frac{1}{2} \int x^2darctgx =\frac{1}{2}x^2arctgx-\frac{1}{2}\int \frac{x^2}{1+x^2}dx[/tex]
Добавянето и изваждането на 1-ца в числителя на последния интеграл е с ранг на действие на магическа пръчка
[tex]\int xarctgxdx=\frac{1}{2}x^2arctgx-\frac{1}{2}\int \frac{x^2+1-1}{1+x^2}dx=\frac{1}{2}x^2arctgx-\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}\int \frac{1}{1+x^2}dx=\frac{1}{2}x^2arctgx-\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}arctgx+C[/tex]

Означаваме последния резултат без константата с [tex]F(x)=\frac{1}{2}(x^2+1)arctgx-\frac{1}{2}x[/tex]
Съгласно ОТИС, определеният [tex]\int\limits_{0}^{1} xarctgxdx=F(1)-F(0)=\frac{\pi-2}{4}[/tex]