Определени интеграли

[Гост]

Намерете обема на тяло, ограничено от повърхнината, която се получава при въртенето на кривата y = sinx за 0 [tex]\le[/tex] x [tex]\le[/tex] [tex]\pi[/tex] около Ox.

[Добромир Глухаров]

$V=\pi\int_0^{\pi}y^2dx=\pi\int_0^{\pi}sin^2xdx=\pi\int_0^{\pi}\frac{1-cos2x}{2}dx$

$V=\pi\left(\frac{\pi}{2}-\frac{1}{2}\int_0^{\pi}cos2xdx\right)=\frac{\pi^2}{2}-\frac{\pi}{2}\cdot\frac{1}{2}\int_0^{\pi}cos(2x)d(2x)$

$V=\frac{\pi^2}{2}-\frac{\pi}{4}\cdot sin(2x)|_0^{\pi}=\frac{\pi^2}{2}-0=\frac{\pi^2}{2}$