Интегриране по части

[radokj]

Здравейте , молбата ми е ако може някой от вас да ми обясни интегрирането по части ,защото леко се затруднявам с него , ако е възможно и с няколко нагледни примера много благодаря предварително ! ! !
По - специално ме затруднява изборът за вкарването под интегралната функция , следващите действия с новополученият интеграл и някои др.

[WEBER]

Интегриране по части

Формули:

[tex]\int_{}^{ } udv= uv- \int_{}^{ } vdu[/tex]

[tex]\int_{}^{ } uv'dx=uv-\int_{}^{ } vu'dx[/tex]

Пример 1: Да се реши интегралът [tex]\int_{}^{ } xcosxdx[/tex]

Решение: [tex]\int_{}^{ } xcosxdx=\int_{}^{ } xdsinx[/tex] (това е по първата формула) [tex]= xsinx -\int_{}^{ } sinxdx[/tex][tex]= xsinx+cosx+C[/tex]

Пример 2: Да се реши интегралът [tex]\int_{}^{ } \frac{arcsin\sqrt{x} }{\sqrt{1-x}} dx[/tex]

Решение: [tex]arcsin\sqrt{x} =u, v'=\frac{1}{\sqrt{1-x} }[/tex] и сега
[tex]v=\int_{}^{ } \frac{1}{\sqrt{1-x} } dx=-\int_{}^{ } (1-x)^{-\frac{1}{ 2} } d(1-x)=-\frac{(1-x)^{\frac{1}{2 } }}{\frac{1}{2 } } =-2\sqrt{1-x}[/tex]
След като се интегрира по части излиза следното:

[tex]\int_{}^{ } \frac{arcsin\sqrt{x} }{\sqrt{1-x}} dx[/tex][tex]=\int_{}^{ } arcsin\sqrt{x} d(-2\sqrt{1-x} )=[/tex]

[tex]=-2\int_{}^{ } arcsin\sqrt{x} d(\sqrt{1-x})=[/tex]

[tex]=-2\sqrt{1-x} arcsin\sqrt{x} +2\int_{}^{ } \sqrt{1-x} .\frac{1}{\sqrt{1-x} } . \frac{1}{2\sqrt{x} } dx=...[/tex]

[radokj]

много благодаря за подробните обяснение , разбрах ги напълно , без последният ред където не виждам това 1/2.?х откъде се взе ? след като разлагаме arcsin-ът на производна , а неговата производна е само 1/?1-х2

Ако нещо съм се объркал , извинявай , но не го разбрах

[WEBER]

1) [tex](\sqrt{x} )' = \frac{1}{2\sqrt{x} }[/tex]

2)Ти казваш, че производната на [tex]arcsinx[/tex] e [tex]\frac{1}{\sqrt{1-x^2} }[/tex], но в задачата е [tex]arcsin\sqrt{x}[/tex], което е коренно различно.

ПП Преговори производна от съставна функция:

Пример 1:

Да се намери производната на ф-цияата [tex]y=\sqrt{sinx}[/tex]

Решение:

Полагаме [tex]sinx=u[/tex] и става [tex]y=\sqrt{u}[/tex]

Производна на съставна функция съгласно правилото е [tex]y_{x} ' =y_{u} ' u_{x} '[/tex]

[tex]y_{u} '=\frac{1}{2\sqrt{u} }[/tex][tex], u_{x} '=cosx[/tex]

=> [tex]y_{x} '=\frac{1}{2\sqrt{u}}cosx[/tex], заместваме и става [tex]y'=\frac{cosx}{2\sqrt{sinx}}[/tex]

Процедирай и с arcsin-a по този начин и няма да имаш проблеми.