Определен интеграл

[Гост]

В какво отношение разделя параболата [tex]2y=x^2[/tex] лицето на кръга [tex]x^{2} + y^{2}[/tex] = 8

[Davids]

Първо ще намерим координатите на двете пресечни точки на графиките.
За целта решаваме системата от двете дадени уравнения.
[tex]\begin{array}{|l} 2y = x^2 \\ x^2 + y^2 = 8 \end{array}[/tex]

Директно заместваме първото във второто, получаваме:
$y^2 + 2y - 8 = 0$

Решения са $y_1 = -4; y_2 = 2$, но понеже $2y = x^2$, то $y \ge 0$, следователно $y = 2$. Оттам намираме и $x = \pm 2$. Тоест двете пресечни точки са $(-2; 2)$ и $(2; 2)$.

Първо ще намерим лицето на областта, заключена между двете графики.
Понеже и двете функции са четни, сиреч симетрични спрямо ординатата, то стига да намерим лицето на сечението в първи квадрант и да умножим по две. За да го намерим, трябва в интервала (0, 2) от повърхността под кръга да извадим повърхността под параболата.

В крайна сметка лицето между двете графики ни дава интегралът:
$S = \int_0^2(\sqrt{8 - x^2} - \frac{1}{2}x^2)dx = ... = \frac{3\pi + 2}{3}$

Решаването на самия интеграл ще оставя на теб да се позабавляваш.

И за окончателното решение трябва да пресметнем, че от функцията на кръга $x^2 + y^2 = 8$ следва, че радиусът му е $r = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$. Тоест лицето на целия кръг е $B = \pi r^2 = 8\pi$, а останалата част освен сечението е с лице $8\pi - \frac{3\pi + 2}{3} = \frac{21\pi - 2}{3}$

И в крайна сметка търсеното отношение е $\frac{3\pi + 2}{21\pi - 2}$.

П.П. Ето и една тънка графичка за ориентация. https://www.desmos.com/calculator/kkvuvy4n6d