Задача с неопределен интеграл

[Гост]

Здравейте,
мъча се със следния интеграл, дори пробвах с калкулатори, но каквото и да правя не мога да го интегрира и се чудех дали има грешка в задачата или по-скоро самия аз греша някъде. В задачата се иска да се намери най-малкото n, за което той е сходящ. Благодаря предварително за отделеното време!

[Гост]

Поправка най-малкото n естествено число при което той е сходящ

[Добромир Глухаров]

$I_n=\int_{1}^{+\infty}\frac{dx}{x^n.arccotgx}$

$(arccotgx)'_x=-\frac{1}{1+x^2}$

$\lim_{x\to+\infty}\frac{arccotgx}{\frac{1}{x}}\{\frac{0}{0}\}=\lim_{x\to+\infty}\frac{-\frac{1}{1+x^2}}{-\frac{1}{x^2}}=1$

$x\to+\infty\Rightarrow arccotgx<\frac{1}{x};\ arccotgx>\frac{1}{x^{1,5}}$

$n=1\Rightarrow\int_1^\infty\frac{dx}{x^1.arccotgx}>\int_1^\infty\frac{dx}{x.\frac{1}{x}}=\int_1^\infty dx=+\infty$

$n=2\Rightarrow\int_1^\infty\frac{dx}{x^2.arccotgx}>\int_1^\infty\frac{dx}{x^2.\frac{1}{x}}=lnx|_1^\infty=+\infty$

$n=3\Rightarrow\int_1^\infty\frac{dx}{x^3.arccotgx}<\int_1^\infty\frac{dx}{x^3.\frac{1}{x^{1,5}}}=\int_1^\infty\frac{dx}{x^{1,5}}=\frac{x^{-0,5}}{-0,5}|_1^{+\infty}=-\frac{2}{\sqrt{+\infty}}+2=2$

Така получих отговор $n=3$

Забележка: Интегралът не е неопределен, защото границите на интегриране са дадени, а несобствен, защото горната граница е безкрайност. При неопределените интеграли се търси примитивната функция, а при определените - числова стойност. При собствените интеграли стойността е крайно число, а при несобствените може да се случи да е безкрайност.