Две задачи за двоен и троен интеграл.

[mcrius]

Имам известен проблем с решаването на две задачи.
1:Да се намери обема на фигурата заградена от кривите [tex]x^{2}+y^{2}+z^{2}=30[/tex] и [tex]z=x^{2}+y^{2}[/tex], и[tex]z\ge0[/tex]. Задачата трябва да се реши с троен интеграл но имам проблем с намирането на 3-те интеграционни граници(което всъщност си е 2/3 от задачата).
2:Да се пресметне интеграла [tex]\int_{}^{ }[/tex][tex]\int_{}^{}[/tex][tex]z^{3}dxdy[/tex], където К е външната страна на сферата [tex]x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}[/tex].
Благодаря предварително на тези, които помогнат!

[mcrius]

Така имам напредък, втората задача се решава с формулата на Гаус и като се разпише излиза 3-4 реда, но първата още ме мъчат тея граници

[alfa_911]

Незнам да ли ще ти е от полза но го писша:
за 1 задача прависш сверична смяна [tex]x = r*sin\alpha*cos\varphi ,y = r*sin\alpha *sin\varphi , z = r*cos\varphi[/tex]
имаш две области :
Д1: [tex]\varphi \in [0:2\pi ] , \alpha \in [0:arctg(5/\sqrt{5}) ] , r \in [0:cos\alpha /(sin\alpha *sin\alpha )][/tex]
Д2: [tex]\varphi \in [0:2\pi ] , \alpha \in [arctg(5/\sqrt{5}):\pi /2 ] , r \in [0:\sqrt{30} )][/tex]
и задачата е [tex]\int_{}^{ }\int_{}^{ } \int_{}^{ }r*r*sin\alpha dr d\alpha d\varphi[/tex] върху отделните области.

[Flame]

Незнам да ли ще ти е от полза но го писша:
за 1 задача прависш сверична смяна [tex]x = r*sin\alpha*cos\varphi ,y = r*sin\alpha *sin\varphi , z = r*cos\varphi[/tex]
имаш две области :
Д1: [tex]\varphi \in [0:2\pi ] , \alpha \in [0:arctg(5/\sqrt{5}) ] , r \in [0:cos\alpha /(sin\alpha *sin\alpha )][/tex]
Д2: [tex]\varphi \in [0:2\pi ] , \alpha \in [arctg(5/\sqrt{5}):\pi /2 ] , r \in [0:\sqrt{30} )][/tex]
и задачата е [tex]\int_{}^{ }\int_{}^{ } \int_{}^{ }r*r*sin\alpha dr d\alpha d\varphi[/tex] върху отделните области.

"This ain't no technological breakdown
Oh no, this is the road to hell! "- бе писал r2d2 на едно място.
Две области
Първосигнална реакция е да се прави сферична замяна, когато се види уравнение на повърхнина на сфера.

А удобния подход в случая е смяна с цилиндрична координатна система.
Пробвай и напиши до къде стигаш.

[alfa_911]

ОК ,аз си признавам че не разбирам много , но като направиш цилиндрична смяна r се изразява чрез z , а z се изразява чрез r и ми е интересно кво правим след това ?

[Flame]

ОК ,аз си признавам че не разбирам много , но като направиш цилиндрична смяна r се изразява чрез z , а z се изразява чрез r и ми е интересно кво правим след това ?

Разпиши да видим до къде стигаш и ще ти покажа как да продължиш.

[alfa_911]

Е аз го разписах получава е [tex]r^{2} + z^{2} = 30[/tex]
и [tex]z = r^{2}[/tex] и до там .

[Flame]

Е аз го разписах получава е [tex]r^{2} + z^{2} = 30[/tex]
и [tex]z = r^{2}[/tex] и до там .

Много добре, значи:
[tex]r^2\le z \le \sqrt{30-r^2}[/tex]
[tex]0\le r \le \sqrt{5}[/tex]
[tex]0\le \varphi \le 2.\pi[/tex]

[tex]\sqrt{5}[/tex] е радиусът на окръжността , която е сечение между сферата и параболоида.

[alfa_911]

ДА да точно така не бях забелязал радиуса на сечението че е [tex]\sqrt{5}[/tex] мерси

[PodpalvachkaTa666]

Така имам напредък, втората задача се решава с формулата на Гаус и като се разпише излиза 3-4 реда, но първата още ме мъчат тея граници

Ако не е проблем,ще разпишеш ли задачата с Гаус?

[tex]\int_{}^{ } (lnxy+xe^{y}+6y)dx + (x/y +(1/2)x^{2}e^{y}+12x)dy[/tex]

[tex]C: x^{2}+y^{2}+2x-6y=0[/tex]

Това е моята задАча и тя трябва да се реши с Гаус, но не ми е ясно как. Затова си мислех,че ако видя твоето решение може да се получи нещо

[Flame]

Така имам напредък, втората задача се решава с формулата на Гаус и като се разпише излиза 3-4 реда, но първата още ме мъчат тея граници

Ако не е проблем,ще разпишеш ли задачата с Гаус?
[tex]\int_{}^{ } (lnxy+xe^{y}+6y)dx + (x/y +(1/2)x^{2}e^{y}+12x)dy[/tex]
[tex]C: x^{2}+y^{2}+2x-6y=0[/tex]
Това е моята задАча и тя трябва да се реши с Гаус, но не ми е ясно как. Затова си мислех,че ако видя твоето решение може да се получи нещо

Формулата далеч не е на Гаус. Все пак в някой учебници се дава, като Грийн-Гаус, все едно. Става въпрос за връзката между криволинеен интеграл от първи род и двоен интеграл върху равнина област.

[tex]\oint_{}^{ }Pdx+Qdy=\int_{C}^{ } \int\[\frac{\partial Q}{\partial x }- \frac{\partial P}{\partial x } \]dxdy[/tex]


[tex]P=ln(xy)+xe^{y}+6y[/tex]
[tex]Q=x/y +(1/2)x^{2}e^{y}+12x[/tex]

[tex]\frac{\partial Q}{\partial x }=\frac{1}{y }+x.e^{y}+12[/tex]
[tex]\frac{\partial P}{\partial x }= \frac{1.x}{x.y }+ x.e^{y}+6=\frac{1}{y }+ x.e^{y}+6[/tex]
[tex]\frac{\partial Q}{\partial x }- \frac{\partial P}{\partial x }= \frac{1}{y }+x.e^{y}+12-\frac{1}{y }-x.e^{y}-6=6[/tex]


И нашият интеграл има вече вид:

[tex]I=\int_{C} \int6dxdy, C: \{x^{2}+y^{2}+2x-6y=0\}[/tex]
Имаш най-малко два начина да решиш това нещо.
Единият е да преминеш към цилиндрична координатна система
[tex]x=r. \cos\varphi[/tex]
[tex]y=r. \sin\varphi[/tex]
[tex]J=r, dxdy=rdrd\varphi[/tex]

Заместваш смяната в окръжността и получаваш [tex]r=r\(\varphi\)[/tex]- това е за горна граница. За долна [tex]r=0[/tex] (окръжността пресича точка (0,0)).
След, което ограничението по [tex]\varphi[/tex]. Приравни [tex]r(\varphi)=0[/tex], от което излизат две стойности на [tex]\varphi[/tex]. Вземаш положителната за долна граница и положителната [tex]+\pi[/tex] за горна граница. ( Всъщност това е ъгловият коефициент на допирателната в точка (0,0) на дадената окръжност. От където е и извода, че за ротация [tex]\pi[/tex] се обхожда цялата крива с радиус вектора [tex]r=r\(\varphi\).\)[/tex]

Е успех!

[PodpalvachkaTa666]

МНОГО Благодаря !!!