Функции

[Гост]

Трябва да намеря най-голямата и най-малката стойност на тези 2 функции:
а) y = 2sin(x) + cos(2x), за х [tex]\in[/tex] [tex](\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi^{2}}{2})[/tex]
(намерил съм (y') 2cos(x)-2sin(2x) = 0)

б) y = arccos[tex](x^{2})[/tex], за х [tex]\in[/tex] [tex](\frac{-1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}[/tex])

[Knowledge Greedy]

Значи проблемът е в тригонометричното уравнение от [tex]y'=0[/tex]?

[tex]2cos(x)-2sin(2x) = 0[/tex]

Съкращаваме на 2.

[tex]cos(x)-sin(2x) = 0[/tex]

Прехвърляме

[tex]sin2x=cosx[/tex]

Знаем формулата за синус и косинус на допълващи се до [tex]\frac{\pi}{2}[/tex] ъгли. [tex]cosx=sin\left ( \frac{\pi}{2}-x \right )[/tex] - заменяме го в уравнението.

[tex]sin2x=sin\left ( \frac{\pi}{2}-x \right )[/tex]

Първото решение идва веднага след премахване на синусите - гледаме аргументите

[tex]2x= \frac{\pi}{2}-x[/tex]

В този момент се добавя периода на функцията

[tex]2x= \frac{\pi}{2}-x +2k\pi[/tex]

и изразяваме [tex]x[/tex], чрез [tex]\pi[/tex] и произволното цяло [tex]k[/tex](казващо колко са периодите)

За втората група решения знаем равенството на синусите на ъгли, допълващи се до [tex]\pi[/tex]. [tex]sin\alpha=sin(\pi-\alpha)[/tex] - заменяме го в уравнението (тук [tex]\alpha=\frac{\pi}{2}-x[/tex])

[tex]2x=\pi - \left ( \frac{\pi }{2}-x \right )[/tex]

И отново НЕ забравяме да добавим цялото количество периоди.

[tex]2x=\pi - \left ( \frac{\pi }{2}-x \right )+2m\pi[/tex]

Изразяваме в явен вид втората група решения [tex]x[/tex] чрез [tex]\pi[/tex] и произволното цяло [tex]m[/tex]

Аз получих [tex]x_1=(4k+1)\frac{\pi}{6}[/tex] и [tex]x_2=(4m+1)\frac{\pi}{2}[/tex]
Индексите 1 и 2 не означават две решения, а 2 групи решения!

И почти накрая. Трябва да установим има ли от намерените решения в дадения интервал [tex]\left ( \frac{\pi}{2} ; \frac{3\pi^2}{2} \right )[/tex]

[tex]\frac{\pi}{2}<(4m+1)\frac{\pi}{2}<\frac{3\pi^2}{2}[/tex]

Дават [tex]0<m<\frac{3\pi-1}{4}[/tex]

Единствените цели са [tex]m=1[/tex] и [tex]m=2[/tex]
Аналогично откриваме и решениятаот първата група.

След това завършваме с намирането на самите екстремални стойности.