Задача за функция

[Гост]

Става въпрос за тази функция y = [tex]\frac{x^{3}-4}{x^{2}}[/tex]

Бих искал да попитам защо като намеря за първата производна y'=0 тоест [tex]x^{3}[/tex] + 8 = 0 и след това y' ([tex]x^{3}[/tex]+8)[tex]x^{3}[/tex] [tex]\ge[/tex] 0, интервалите на монотонност започват със знак минус (нанасям за х само 0 и 2 нали?)

а другата задача не мога да я реша y = [tex]\frac{x}{ln(x)}[/tex]

[Knowledge Greedy]

Първата грешка е в първата производна. Ако ползваш [tex]\left ( \frac{u}{v} \right )'=\frac{u'v-uv'}{v^2}[/tex] , не забравяй знаменатееля.

яксъсае ящхаидп.png (15.99 KiB) Прегледано 392 пъти

Ще ти издам една тайна. Този вид функции

[tex]y=\frac{x^3-4}{x^2}[/tex]

имат супер лесни производни, ако ги напишеш на части така: [tex]y=\frac{x^3}{x^2}-\frac{4}{x^2}[/tex] - все едно си извадил дробите, ама си в процес ... аха да се откажеш ... и се отказваш! Защото [tex]\frac{x^3}{x^2}=\frac{x^{\cancel{3}}}{\cancel{x^2}}=x[/tex]

Та , нашата функция е [tex]y=x-\frac{4}{x^2}[/tex]

[tex]y'=1+8\frac{1}{x^3}[/tex] - трябва да си научиш основните производни.

И като запишем y'>0 , значи пишем [tex]1+8\frac{1}{x^3}>0[/tex] ,


Пишем [tex]\frac{x^3+8}{x^3} \,\ \Leftrightarrow \,\ (x+2)(x^2-2x+4)x>0[/tex] тук сме разложили числителя на множители, умножили сме по [tex]x^4[/tex], което не е променило посоката на неравенството и накрая съкращаваме винаги положителния множител [tex](x^2-2x+4)[/tex], та се получава онова

[tex](x+2)x>0[/tex]

Числата, дето сменят знака на производната са (-2) и (0).

Отговор: [tex]y[/tex] расте, защото [tex]y'>0[/tex] , което пък става когато [tex]x \in (-\infty , -2)\cup (0;+\infty)[/tex]

Обратно - когато [tex]y[/tex] намалява, [tex]y'<0[/tex] , което пък става когато [tex]x \in (-2; 0)[/tex]

________________
Другата задача ще можеш да си решиш, ако приложиш формулата в началото и .... трябва мноого писане и решаване .