Интеграли

[Гост]

Ако може помощ за тези неопределени интеграли:
а) [tex]\int[/tex] [tex]\sqrt{1-cos2x}[/tex] dx

б) [tex]\int[/tex] [tex]\frac{\sqrt{1+x^{2}} -3 \sqrt{1-x^{2}}}{\sqrt{1-x^{4}}}[/tex]

[Davids]

a) $\int \sqrt{1 - cos2x}dx = \int\sqrt{1 - (1 - 2sin^2x)}dx = \int\sqrt{2sin^2x}dx = \sqrt{2}\int |sinx|dx = -cosx.sgn(sinx) + C$
където $sgn(x)$ е $sign$-функцията, която ти връща знака на аргумента. Може да се презапише равенството и чрез $sgn(x) = \frac{|x|}{x}$ с изключението, че $sgn(0) = 0$.

б) $\int\frac{\sqrt{1 + x^2} - 3\sqrt{1 - x^2}}{\sqrt{1 - x^4}}dx = \int\frac{\sqrt{1 + x^2} - 3\sqrt{1 - x^2}}{\sqrt{1 + x^2}\sqrt{1 - x^2}}dx = \int\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}dx - 3\int\frac{1}{\sqrt{1 + x^2}}dx = arcsinx - 3ln\Big|\sqrt{1 + x^2} + x\Big| + C$