Пак интеграли...

[Гост]

а) [tex]\int[/tex] [tex]x^{3} arctg(x)[/tex] dx

б) [tex]\int[/tex] (2x+1) sin(3x) dx

Благодаря!

[Davids]

a) $\int x^3arctgxdx = I$

Ползваме интегриране по части (препоръчвам $DI-$метода):
$$\begin{array}{ c| c | c }
&D&I \\
\hline
+&arctgx&x^3 \\
\hline
-&\frac{1}{1+x^2}&\frac{1}{4}x^4 \\
\end{array}$$

$\Rightarrow I = \frac{1}{4}\Bigg(x^4arctgx - \int\frac{x^4}{1 + x^2}dx\Bigg) + C$

Нека сега разгледаме $J = \int\frac{x^4}{1 + x^2}dx = \int\frac{x^4 - 1 + 1}{1 + x^2}dx = \int\frac{(x^2 + 1)(x^2 - 1)}{1 + x^2} + \frac{1}{1 + x^2}dx = \int(x^2 - 1)dx + \int\frac{1}{1 + x^2}dx = \frac{1}{3}x^3 - x + arctgx + C$

Значи окончателно $I = \frac{1}{4}\Bigg((x^4 + 1)arctgx + \frac{1}{3}x^3 - x\Bigg) + C$

б) се решава абсолютно лесно само с интеграция по части. Погледни си лекциите как става... или отнякъде просто.