Да се намери границата

[NetGh0st]

lim x->0 [tex]\frac{1}{ ln(3x + \sqrt{1+9x^{2})}} - \frac{1}{ln(3x+1) }[/tex]

Да се намери границата

[veliko]

[tex]\lim_{x\to\0}\frac{1}{ln(3x+\sqrt{1+9x^{2}}}-\frac{1}{ln(3x+1)}[/tex]=
=[tex]\lim_{x\to\0}\frac{3x-1+\sqrt{1+9x^{2}})}{ln(1+3x-1+\sqrt{1+9x^{2}}}\frac{1}{3x-1+\sqrt{1+9x^{2}}}-\frac{3x}{ln(3x+1)}\frac{1}{3x}=
\lim_{x\to\0}\frac{1}{3x-1+\sqrt{1+9x^{2}}}-\frac{1}{3x}=[/tex]
[tex]\lim_{x\to\0}\frac{1-\sqrt{1+9x{2}}}{3x(3x-1+\sqrt{1+9x^{2}})}=
\lim_{x\to\0}\frac{-9x^{2}(3x-1-\sqrt{1+9x^{2}})}{3x((3x-1)^{2}-(1+9x^{2})(1+\sqrt{1+9x^{2}})}[/tex]=
[tex]\lim_{x\to\0}\frac{-3x(3x-1-\sqrt{1+9x^{2}})}{-6x(1+\sqrt{1+9x^{2}})}=
\lim_{x\to\0}\frac{3x-1-\sqrt{1+9x^{2}}}{2(1+\sqrt{1+9x^2})}=-\frac{1}{2}[/tex]

Отначало изполвах основната граница:

[tex]\lim_{x\to\0} \frac{ln(1+a(x))}{a(x)} = 1[/tex] , където a(x) е безкрайно малка функция.

[yoyo_fen]

Лявата дроб е arcsin 3x . Надали е случайно. В момента разписвам...