Определени интеграли

[Гост]

При интеграла [tex]\int\limits_{-2}^{-1}[/tex] [tex]\frac{3}{(3+2x)^{3}}[/tex] защо интеграла става [tex]\int\limits_{1}^{3}[/tex]

[Knowledge Greedy]

Първо трябва да сметнеш неопределения интеграл

[tex]\int\frac{3}{(3+2x)^3}dx = 3\int(3+2x)^{-3}dx =\frac{3}{2}\int(3+2x)^{-3}d(2x) =\frac{3}{2}\int(3+2x)^{-3}d(3+2x) =\frac{3}{2}\frac{(3+2x)^{-2}}{-2}+C = -\frac{3}{4}.\frac{1}{(3+2x)^{2}}+C[/tex]

И след това - определения
[tex]\int\limits_{-2}^{-1}\frac{3}{(3+2x)^3}dx = -\frac{3}{4}.\frac{1}{(3+2x)^{2}}|^{x=-1}_{x=-2}=-\frac{3}{4}.\frac{1}{(3+2(-1))^{2}}-\left (-\frac{3}{4}.\frac{1}{(3+2(-2))^{2}} \right )=0[/tex]

И сега, отново задай въпроса, че се изморих да гадая.

[Петър Евгениев]

При интеграла [tex]\int\limits_{-2}^{-1}[/tex] [tex]\frac{3}{(3+2x)^{3}}[/tex] защо интеграла става [tex]\int\limits_{1}^{3}[/tex]

Добър въпрос. Ами някакво полагане е направено. Истинската задача е да reverse engineer-неме полагането ли?

По-добре разбери като цяло защо може да се променят границите на даден интеграл. Ако примерно сега(можеш всичко да положиш, ако те улеснява. Тук действително е по-удобно като примитивна да го решиш(абе като се замисля , аз винаги предпочитам да полагам, по-малко числа , по-малко грешки. (неопределен интеграл). Амаа що не с полагане. )
$t=3+2x \Rightarrow dt=2dx \Rightarrow dx=\frac{1}{2}dt.$ О
$$\frac{3}{2}\int_{-2}^{-1}\frac{dt}{t^{3}}$$
Обаче това сега не е първоначалния интеграл! След като си въвел някякво полагане в случая $t=3+2x$ можеш да си мислиш, че си shift-нал функцията на някъде. И сега за да смята същото лице като дадената задача, трябва да поправиш грешката, като нагласиш границите. Как? Ами в стария интеграл границите са $x=-2, x=-1.$
Във формулата, която въвеждаш полагането: $t=3+2x$ въвеждаме долната граница(старата) и съответно получаваме новата горна граница.
$t=3+2(-2)=-1$ е новата долна граница след полагането. $t=3+2(-1)=1$ е новата горна граница!
Сега вече можеш да сложиш равното! ^^ Тоест
$$\int_{-2}^{-1}\frac{3dx}{(3+2x)^{3}}=\frac{3}{2}\int_{1}^{-1}\frac{dt}{t^{3}}=0.$$
Още тук можем да спрем да решаваме и да заключим, че интеграла е нула, защото интегрираме над симетричен интервал функцията $\varphi(t)=\frac{1}{t^{3}},$ която очевидно е нечетна($\varphi(-t)=-\varphi(t)$), а значи лицето което интеграла смята над и под Ох е едно и също (геометричния еквивалент на две еднакви събираеми с различни знаци)