Дискретна трансформация на Лаплас

[justme.h]

Здравейте,
Моля за помощ, имам следната задача да реша:

С дискретната трансформация на Лаплас решете рекурентното уравнение:

[peyo]

Според тази книга:

https://books.google.bg/books?id=7ZY6DwAAQBAJ&pg=PA39&lpg=PA39&dq=solve+recurrent+equation+using+discrete+Laplace+transform&source=bl&ots=cADdEL-cKy&sig=ACfU3U0eUgNHgnAK2bJ_ECIaygResXs_nA&hl=en&sa=X&ved=2ahUKEwjGypLo_snqAhU-wcQBHdrmCB8Q6AEwA3oECAcQAQ#v=onepage&q=solve%20recurrent%20equation%20using%20discrete%20Laplace%20transform&f=false

Както и според тази:

https://onlinelibrary.wiley.com/doi/pdf/10.1002/9781118625651.app3

Ще решаваме по следния начин:

$x_{n+2} - \sqrt 3 x_{n+1} + x_n = 0$

k=2

$x_{n+2}x^{n+2} - \sqrt 3 x_{n+1}x^{n+2} + x_nx^{n+2} = 0$

$\sum_{n=0}^{\infty}x_{n+2}x^{n+2} - \sqrt 3 \sum_{n=0}^{\infty}x_{n+1}x^{n+2} + \sum_{n=0}^{\infty}x_nx^{n+2} =0$

$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty}x_nx^{n}$

$f(x) - x_0 - x_1 - x\sqrt 3 \sum_{n=0}^{\infty}x_{n+1}x^{n+1} + x^2\sum_{n=0}^{\infty}x_nx^{n} =0$

$f(x) - x_0 - x_1 - x\sqrt 3 (f(x) - x_0) + x^2f(x) =0$

$f(x) - 1/2 - \sqrt3 /2 - x\sqrt 3 (f(x) - 1/2) + x^2f(x) =0$

$f(x) = \frac{- \sqrt{3} x + 1 + \sqrt{3}}{2 x^{2} - 2 \sqrt{3} x + 2}$

И оттук нататък вече не ми е много ясно какво ще правим с този подход.
-----

Затова ще го зарежем и вместо това ще решим задачата по друг начин. А именно по подобие на този:

http://www1.maths.leeds.ac.uk/~frank/math3491/Lect1.pdf



Ще търсим решение от вида:

$x_n = \lambda ^n$ с две експоненти.

$\lambda ^{n+2} - \sqrt 3 \lambda ^{n+1} + \lambda ^n = 0$

$\lambda ^{n}( \lambda ^2- \sqrt 3 \lambda + 1) = 0$

$ \lambda = \frac{\sqrt{3}}{2} \pm \frac{i}{2}$

Общото решение тогава може би е:

$x_n = a[\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2}]^n + b[\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{i}{2}]^n$

Oт:
$x_0 = 1/2$, $x_1= \sqrt3/2$
Определяме a и b:

$1/2 = a+b $
$\sqrt3/2 = a(\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2}) + b (\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{i}{2})$

[tex]\begin{array}{|l} 1/2 = a+b \\ \sqrt3/2 = a(\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2}) + b (\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{i}{2}) = 0 \end{array}[/tex]

$b = \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{3} i}{4}$

$a = \frac{1}{4} - \frac{\sqrt{3} i}{4}$

Общото решение тогава вече ще е:

$x_n = (\frac{1}{4} - \frac{\sqrt{3} i}{4})[\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2}]^n + (\frac{1}{4} + \frac{\sqrt{3} i}{4})[\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{i}{2}]^n$