Обем на пространствена фигура.

[Гост]

С помощта на двоен интеграл да се пресметне обема на тялото зададено със следните неравенства. $\sqrt{x^{2}+y^{2}} \ge z \ge 0$ и ${2 \le x^{2}+y^{2} \le 4.}$

[peyo]

С помощта на двоен интеграл да се пресметне обема на тялото зададено със следните неравенства. $\sqrt{x^{2}+y^{2}} \ge z \ge 0$ и ${2 \le x^{2}+y^{2} \le 4.}$

Ok, cool.
Тoва което търсим сигурно е фигурата образувана от полусферата с радиус 2 и цилиндъра с радиус $\sqrt 2$, но тази част която е извън цилиндъра. Значи ще извадим от обема на полусферата обема на цилиндъра и ще сме готови.

Обема на цилиндъра е единственото сложно нещо:

[tex]4*\int\limits_{0}^{\sqrt{2}} \int\limits_{0}^{\sqrt{2-x^2}} \sqrt{x^{2}+y^{2}}dydx[/tex]

Сметките тук ще са дълги, затова ще ползвваме Maxima:

Код: Избери целия код

(%i13) assume (x>0);
(%o13)                              [x > 0]
(%i14) integrate (sqrt(x^2+y^2), y, 0, sqrt(2-x^2));
                                    2
                  2       sqrt(2 - x )                      2
                 x  asinh(------------) + sqrt(2) sqrt(2 - x )
                               x
(%o14)           ---------------------------------------------
                                       2
(%i15) integrate(%, x, 0, sqrt(2));
                                  sqrt(2) %pi
(%o15)                            -----------
                                       3

Получихме $4\pi\sqrt{2}/3$

И така отговора който търсим е:
$V = V_{пс} - V_ц = (1/2) * 4\pi 2^3 /3 - 4\pi\sqrt{2}/3 = 2\pi(8 - \sqrt{2})/3 $

И виждаме, че отговора е по-голям от нула, което драстично увеличава шансовете да сме получили верен отговор!

Ако нямаме maxima , сигурно ще е по-добре да минем на сферична или цилиндрична координатна система, защото първия ми опит беше с Python и Sympy, но Sympy не се справи с втория интеграл и просто заби.