Криволинеен интеграл

[Гост]

Пресметнете $\int_{L}\frac{dl}{x+y},$ където $L$ е частта от правата $y=5x+7$ лежаща между точките $(0,7)$ и $(3,22).$ Може и без сметките само подскажете. Благодаря предварително.

[peyo]

Пресметнете $\int_{L}\frac{dl}{x+y},$ където $L$ е частта от правата $y=5x+7$ лежаща между точките $(0,7)$ и $(3,22).$ Може и без сметките само подскажете. Благодаря предварително.

Ха! Трудното тук ще е да разберем добре задачата. Ако тръгнем от дефиницията на интеграл ще решим, че трябва да сумираме безкрайно малките $dl$ умножени по 1/(x+y) като x e от 0 до 3. $dl$ пък са безкрайно малко отсечки от правата:
L: $y = 5x+7$

Според Питагор:
$dl = \sqrt {dx^2 + dy^2} = \sqrt {1+ (y')^2}dx = \sqrt {1+ 5^2}dx = \sqrt {26}dx$

$\sqrt {26} \int_{0}^{3}\frac{dx}{x+5x+7} = \sqrt {26} \int_{0}^{3}\frac{dx}{6x+7} = \frac{1}{6} \log{\left (6 x + 7 \right )}$

$- \frac{1}{6} \log{\left (7 \right )} + \frac{1}{6} \log{\left (25 \right )} = 1.08181280351729$

[Sup3rlum]

Пресметнете $\int_{L}\frac{dl}{x+y},$ където $L$ е частта от правата $y=5x+7$ лежаща между точките $(0,7)$ и $(3,22).$ Може и без сметките само подскажете. Благодаря предварително.

Тъй като вече са ти дали точен отговор мисля, че ще е добра малко интуация.

Криволинеен интеграл във формата $\int_C f(r)ds$ е линеен интеграл върху скаларно поле $f:\R^n \rightarrow \R$ по някоя простосвързана, диференцуема крива $C:\R^n$

В едно измерение ($n=1$) имаме просто $\int_C f(x)dx$ където $C$ е прост сегмент от $x$ следователно криволинейният интеграл придобива формата $\int_a^bf(x)dx$

В две измерения ($n=2$) скалраното поле $z=f(x,y)$ може да се представи като двуизмерна повърхнина вложена в триизмерно пространство, където точка на самата повърхнина е представена от $<x,y,f(x,y)>$
Можеш да си представиш тази повърхнина като някакъв хълмест пейзаж, където $x,y$ са надлъжните координати, а $f(x,y)$ е височината на хълма в дадената позиция. Спрямо кривата $C$ дефинирана върху $\R^2$ можем да направим вертикален разрез на този пейзаж. Ще получим нещо като перде, спускащо се от проекцията на $C$ върху повърхнината до самата $C$ вложена в равнината $x,y$. Един вид имаме, тази лентичка, позната от едноизмерните интеграли, само че изкривена спрямо $C$. Търсената стойност тогава, е лицето на това перде/лента.
Подхождаме както и в едноизмерния случай на Реймановия интеграл - събираме безкрайно много правоъгълни ленти със стойност $f$ и мярка $dx$, но тъй като се движим по крива, дефинирана алгебрично, имаме като мярка $ds$.

След като сме дали условие, че $C$ е диференцуема знаем, че $ds$ може да съществува като метрична функция $M(dx,dy)$. След като работим в плоско, Еуклидово пространство, тази метричност е просто Питагоровата дължина на този $ds$, именно $ds^2=dx^2+dy^2$ или представено $\vec{dr}=(dx,dy)$
$ds^2=\rm dr \cdot dr$
$ ds^2=|dr|^2$
$ ds=|dr|$
$ ds=|\frac{dr}{dt}|dt $
$ ds=|r'(t)|dt$

За някоя биективна праметризация на $r=(x,y) \rightarrow r(t)=(x(t),y(t)), t\in[a,b]$

Интегралът придобива вида на $\int_Cf(x,y)ds=\int_a^bf(x(t),y(y))|r'(t)|dt=\int_a^bf(x,y)\sqrt{x'+y'}dt$

В повече измерения, просто генерализираме скаларното поле $f(x,y,z,w...)$ като $f(r)$ за $r \in \R^n$ и получаваме, като обща формула за криволинейните интеграли в Еуклидово пространство:

$\int_cf(r)ds=\int_a^bf(r(t))|r'(t)|dt$

Line_integral_of_scalar_field.gif (580.33 KiB) Прегледано 759 пъти