Курсова работа по математичен анализ 2 част - интеграли

[Гост]

105414565_869594623533419_5226182549567077271_n.jpg (121.14 KiB) Прегледано 602 пъти

105455696_322003178803915_1924535869674190350_n.jpg (92.9 KiB) Прегледано 602 пъти

105699571_259146532036542_2277746651819483669_n.jpg (127.65 KiB) Прегледано 602 пъти

Ако някой знае някоя от задачите ще съм много благодарен.

[peyo]

7. Тази ще е интересна!

[tex]\int \int\limits_{D} \sqrt {1-x^2-y^2} dxdy[/tex] , D: $x^2+y^2=1$

[tex]\int \int\limits_{D} \sqrt {1-(x^2+y^2)} dxdy = \int \int\limits_{D} \sqrt {1-1} dxdy = 0[/tex]

[peyo]

8. Тази прилична на някакъв обем.

[tex]\int \int\limits_{D} е^{-x^2-y^2} dxdy[/tex] , D: $x^2+y^2\le1$

Да минем в полярни координати да видим дали няма да е по-лесно.

$x= r*cos(\phi)$
$y= r*sin(\phi)$

D: $r^2(cos(\phi)^2+sin(\phi)^2)\le1$
D: $r\le1$

(долното е според тук: https://tutorial.math.lamar.edu/Classes/CalcIII/DIPolarCoords.aspx )
$dxdy \approx rdrd\phi.$


[tex]\int \int\limits_{D} е^{- r^2(cos(\phi)^2+sin(\phi)^2)} rdrd\phi = \int\limits_{0}^{2\pi} \int\limits_{0}^{1} е^{- r^2} rdrd\phi = \int\limits_{0}^{2\pi} \frac{\sqrt{\pi}}{2} \operatorname{erf}{\left (1 \right )} d\phi = \pi \sqrt{\pi} \operatorname{erf}{\left (1 \right )} = 4.6924344183341775[/tex]

Което е малко странен отговор и ще е интересно да решим задачата без полярни координати да видим дали ще получим нещо подобно.

[Sup3rlum]

$\iint_De^{-x^2-y^2}dx$ с преобразуане в полярни координати:

$x=rcos\varphi$
$y=rsin\varphi$

$D:x^2+y^2\le 1 \Rightarrow D:r^2\le 1$ и $0\le \varphi \le 2\pi$

$dxdy \rightarrow rdrd\varphi$

$\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1}e^{-r^2}rdrd\varphi=\int_0^{2\pi}d\varphi\int_0^1re^{-r^2}dr=2\pi\int_0^1re^{-r^2}dr=\pi\bigg[e^{-r^2}\bigg]_1^0=\pi(1-\frac{1}{e})$

[peyo]

$\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1}e^{-r^2}rdrd\varphi=\int_0^{2\pi}d\varphi\int_0^1re^{-r^2}dr=2\pi\int_0^1re^{-r^2}dr=\pi\bigg[e^{-r^2}\bigg]_1^0=\pi(1-\frac{1}{e})$

Aaa! Загубил съм едно $r$! Това обяснява странния ми резултат.

[peyo]

Задача 10 изглежда интересна:

[tex]\int \int\limits_{D} ln({1+x^2+y^2}) dxdy[/tex] , D: $x^2+y^2=1, x\ge 0, y \ge 0$

Лимити:
$ 0 \le x \le \sqrt{1-y^2}$, $ 0 \le y \le 1$

$\int\limits_{0}^{1} \int\limits_{0}^{\sqrt{1-y^2}} ln({1+x^2+y^2}) dxdy = ln({2}) \int\limits_{0}^{1} \int\limits_{0}^{\sqrt{1-y^2}} dxdy = ln({2}) \int\limits_{0}^{1} \sqrt{1-y^2} dy = ln({2}) \frac{y}{2} \sqrt{- y^{2} + 1} + \frac{1}{2} \operatorname{asin}{\left (y \right )} = ln({2})\frac{\pi}{4} = 0.5443965225759005$