Анализ 2-ра част

[MrBuff]

Имам следния въпрос "Докажете (в R*R), че от съществуването на потенциал (диференцируема функция
U(x, y)) следва независимост от пътя на криволинеен интеграл от втори род."
Моля помогнете.

[Добромир Глухаров]

$\int Pdx+Qdy=?\ \ \ P=\frac{\partial U}{\partial x};\ Q=\frac{\partial U}{\partial y}$

$\exist U(x,y)\Rightarrow\frac{\partial^2 U}{\partial x\partial y}=\frac{\partial^2 U}{\partial y\partial x}\Rightarrow\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}\Rightarrow\int Pdx+Qdy=\int_{x_0}^x\int_{y_0}^y\frac{\partial P}{\partial y}dydx+\int_{y_0}^y\int_{x_0}^x\frac{\partial Q}{\partial x}dxdy=\int_{x_0}^x\int_{y_0}^y\left(\frac{\partial^2 U}{\partial y\partial x}dydx+\frac{\partial^2 U}{\partial x\partial y}dxdy\right)=U(x,y)-U(x_0,y_0)$

Сам не си харесвам доказателството, но по-добро не ми хрумва

[MrBuff]

А как бихте завъртяли доказателството за да докажем обратното " Докажете (в R*R), че от независимостта от пътя на криволинеен интеграл от втори
род следва съществуването на потенциал(диференцируема функция U(x, y))."

[Добромир Глухаров]

"независимост от пътя" - $\int Pdx+Qdy=const$
$\exist U\ - \ \frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}$

$(\int Pdx+Qdy=const\Rightarrow\exist U)\Leftrightarrow(\nexists U\Rightarrow\int Pdx+Qdy\neq const)$

$\nexists U\Rightarrow\frac{\partial P}{\partial y}\neq\frac{\partial Q}{\partial x}\Rightarrow\int Pdx+Qdy\neq U(x,y)-U(x_0,y_0)$

Само, че, за съжаление, от това още не следва, че $\int Pdx+Qdy\neq const$

Явно правя принципна грешка - може би, понеже нямам ясна представа за геометричната нагледност. Така, че не мога да Ви препоръчам да действате по този начин.

[Sup3rlum]

А как бихте завъртяли доказателството за да докажем обратното " Докажете (в R*R), че от независимостта от пътя на криволинеен интеграл от втори
род следва съществуването на потенциал(диференцируема функция U(x, y))."

Търсим съществуването на диференцуема $u(x,y)$ като $\nabla u=F$ в някой просто-свързан регион $\bf D$

$F=P\vec{i}+Q\vec{j}$

Допускаме, че имаме път $\Gamma$ който започва от $A \rightarrow u(A)=0$ и завършва в $B=(x,y)$.
Според независимостта от пътя и първото доказателство, имаме $\int_{\Gamma} U\cdot dr= u(B)-u(A)=u(B)$

Избираме точка $B_0=(x_0,y) \in \bf D$ и крива $\Gamma_0$ свързваща $A$ и $B_0$ която минава през който и да е път. Сега избираме $\Gamma$ така, че да се състои от $\Gamma_0$ и прав сегмент свързващ $B_0$ и $B$ който наричаме $\Lambda$, следователно:

$u(x,y)=\int_{\Gamma} F\cdot dr=\int_{\Gamma_0}F\cdot dr + \int_{\Lambda} F \cdot dr$

$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x} \bigg( \int_{\Gamma_0}U\cdot dr + \int_{\Lambda} F \cdot dr\bigg)$

$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x} \bigg( u(x_0,y) + \int_{\Lambda} F \cdot dr\bigg)$ и след като $u(x_0, y)$ е константа спрямо $x$, $\frac{\partial}{\partial x} u(x_0,y)=0$

$\frac{\partial u}{\partial x}= \frac{\partial}{\partial x}\int_{\Lambda} F \cdot dr$

Параметризираме $\Lambda$ така, че $r(t)=t\vec{i}+y\vec{j}$ и $ x_0 \le t \le x$

Тогава $\rm\frac{dr}{dt}=\vec{i} \Rightarrow F\cdot\frac{dr}{dt}= P \Rightarrow F \cdot dr = P dt$
$\Rightarrow \frac{\partial u}{\partial x}= \frac{\partial}{\partial x}\int_{\Lambda} F \cdot dr=\frac{\partial}{\partial x}\int_{x_0}^{x}P(t,y)dt=P(x,y)$

По аналогичен начин намираме съществуването и на $ \frac{\partial u}{\partial y}=Q$ с което доказваме, че съществува $u(x,y)$ като потенциал на $\rm F$