Анализ 2-ра част

[MrBuff]

Някой може ли да помогне с теи въпроси:
1." Формулирайте и докажете теоремата за равенство на смесените производни за функция F(x, y)."
2."верижно правило) Формулирайте и докажете теоремата за производна на съставна функция от вида F(t) = f(φ(t), ψ(t))."
Благодаря!

[Петър Евгениев]

Някой може ли да помогне с теи въпроси:
1." Формулирайте и докажете теоремата за равенство на смесените производни за функция F(x, y)."
2."верижно правило) Формулирайте и докажете теоремата за производна на съставна функция от вида F(t) = f(φ(t), ψ(t))."
Благодаря!

Теорема. Нека $F(x,y) : M \rightarrow \mathbb{R}, \hspace{0.5 cm} M \subset \mathbb{R}^{2}$ е функция притежаваща непрекъснати частни производни до втори ред и по двете си променливи
, в някакво отворено подмножество $U \subset M.$ Тогава твърдим, че реда на диференциране не е от значение за стойността на вторите смесени производни.

(side note: А оттук получаваме, че операторите $\frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}$ комутират относно композиция в пръстена на операторите действащи в (поне 2)кратно гладките функции , в който събирането е обичайнотото, а "умножението" е композиция на оператори. Което е доста полезно, за извеждането на формулата на Тейлор(в многомерният и вариант) като се възползвме от "формулата" за повдигане на сума от комутиращи елементи от произволен пръстен. Малко се отплеснах май. )

С други думи. Твърдим ,че:
$$\frac{\partial^{2} F}{\partial x \partial y}(x,y) = \frac{\partial^{2} F}{\partial y \partial x}(x,y), \hspace{0.2 cm} \forall (x,y) \in U.$$

Лесно излиза с разглеждане на пододяща разлика +лагранж и после граничен преход(за да се възползваме от непрекъснатостта , нали това целим.
За да се подсетим какъв израз да разгледаме(каквото и да означава това ).
$$\frac{\partial^{2} F}{\partial x \partial y}(a,b) = \lim_{h_{1} \to 0} \frac{\frac{\partial F}{\partial y}(a+h_{1},b)-\frac{\partial F}{\partial y}(a,b) }{h_{1}}=\lim_{(h_{1},h_{2}) \to (0,0)}=\frac{ \frac{F(a+h_{1},b+h_{2})-F(a+{h_{1},b)}}{h_{2}} -\frac{F(a,b+h_{2})-F(a,b)}{h_{2}} }{ h_{1}}.$$
Приведи последното там под общ знаменател игнорирай нарастването и ще разглеждаме само изразът:
$$\Delta = F(a+h_{1},b+h_{2})-F(a+h_{1},b)-F(a,b+h_{2})+F(a,b).$$
Тук като видиш аргументите как хубаво са се подредили, идеята е да положиш функция на една променлива, така че да си го нагласиш за Теоремата за крайните нараствания(Лагранж).
Затова полагаме функцията на една променлива $\varphi(t)=F(a+h_{1},t)-F(a,t)$
Обаче сега имаме $\varphi(b+h_{2})-\varphi(b)=F(a+h_{1},b+h_{2})-F(a,b+h_{2})-F(a+h_{1},b)+F(a,b),$ но това е точно израза делта от по-горе.
$$\Delta=F(a+h_{1},b+h_{2})-F(a,b+h_{2})-F(a+h_{1},b)+F(a,b)= \varphi(b+h_{2})-\varphi(b)=\varphi'(\xi).h_{2},$$
където $\xi$ се намира между $b+h_{2}$ и $b.$
$$\varphi'(t)=\frac{\partial F}{\partial y}(a+h_{1},t)+\frac{\partial F}{\partial y}(a,t).$$
(Това последното само от определението за частна производна и определението на функцията $\varphi(t).$) Затова(plot twist: още веднъж прилагам Лагранж само, че за x компоненитите и директно без да пиша помощна функция):
$$\Delta=\varphi'(\xi)h_{2}= h_{2} \left(\frac{\partial F}{\partial y}(a+h_{1},\xi)+\frac{\partial F}{\partial y}(a,\xi) \right)= h_{1}h_{2} \left(\frac{\partial^{2}F}{\partial x \partial y}(\eta, \xi) \right).$$
Където $\eta$ се намира между $a+h_{1}$ и $a.$
Айде пак това само, че да разменим нали реда първо по х после по y този път.
Тоест този път помощната функция нека вземем $\psi(t)=F(t,b+h_{2})-F(t,b).$
Тук $\psi(a+h_{1})-\psi(a)=F(a+h_{1},b+h_{2})-F(a+h_{1},b)-F(a,b+h_{2})+F(a,b)=\Delta.$
Същите работи правим(направи ги сам както пише по учебниците ) само, че за тази функция пси и получаваме:
$$\Delta=h_{1}h_{2}\frac{\partial^{2}F}{\partial y \partial x}(\vartheta, \mu),$$
тук $\vartheta, \mu$ са точки съответно между $a+h_{1}$ и $a,$ и $а+h_{2}$ и $a.$
Така получихме от една страна първото, от друга страна това последното. Тоест:
$$h_{1}h_{2}\frac{\partial^{2}F}{\partial x \partial y}(\eta, \xi)=\Delta=h_{1}h_{2}\frac{\partial^{2}F}{\partial y \partial x}(\vartheta, \mu).$$
$$\frac{\partial^{2}F}{\partial x \partial y}(\eta, \xi)=\frac{\partial^{2}F}{\partial y \partial x}(\vartheta, \mu).$$ $$
Тук трябваше да се каже, че числата $h_{1},h_{2}$ са достатъчно малки по модул(но не нулеви), така че да не излизаме от $U,$ презецирай си го, напиши подробностите. Сега остана да забележим, че когато $(h_{1},h_{2}) \rightarrow (0,0),$ имаме $(\eta,\xi) \rightarrow (a,b) \wedge (\vartheta,\mu) \rightarrow (a,b)$ и да се възползваме от непрекъснатостта на вторите производни и правим граничен преход в последното при $(h_{1},h_{2}) \rightarrow (0,0)$ и получаваме желаното равенство на смесените производни:
$$\frac{\partial^{2}F}{\partial x \partial y}(a,b)=\Delta=h_{1}h_{2}\frac{\partial^{2}F}{\partial y \partial x}(a,b).$$
Обаче точката $(a,b) \in U$ сме я избрали произволно , затова за всяка точка на непрекъснатост на вторите частни производни(в това отворено множество), те ще съвпадат.


Оттук пък получаваш като следствие и равенство на $k-$$тите смесени производни стига да са непрекъснати. (Просто прилагаш горното за функцията $\frac{\partial^{\ell} F}{\partial x^{\ell_{1}} \partial y^{\ell_{2}}}$ за $\ell < k-2, \ell_{1}+\ell_{2}=\ell.$

[Петър Евгениев]

Някой може ли да помогне с теи въпроси:
1." Формулирайте и докажете теоремата за равенство на смесените производни за функция F(x, y)."
2."верижно правило) Формулирайте и докажете теоремата за производна на съставна функция от вида F(t) = f(φ(t), ψ(t))."
Благодаря!

За второто, даже ще го направя за $n$ функции тъй като не е прекалено досадно.

Нека функциите $\varphi_{1}(t),\ldots,\varphi_{n}(t)$ са диференцируеми в точката $t_{0},$ функцията $f(x_{1},\ldots, x_{n})$ е диференцируема в точката $(\varphi(t_{0}),\ldots, \varphi(t_{0})).$ Тогава функцията $F(t)=f(\varphi_{1}(t), \ldots , \varphi_{n}(t) )$ е диференцируема в точката $t_{0}$ и е в сила равенството:
$$F'(t_{0})=\sum_{i=0}^{n}\frac{\partial f}{\partial x_{i}}(\varphi_{1}(t_{0}),\ldots,\varphi_{n}(t_{0})).\varphi'_{i}(t_{0}).$$

Това се доказва пак директно(с малко нагласяне <3 ). За достатъчно малко по модул число $h$ разглеждаме разликата:
$$F(t_{0}+h)-F(t_{0})=f(\varphi_{1}(t_{0}+h),\ldots,\varphi_{n}(t_{0}+h))=f(\varphi_{1}(t_{0})+\xi_{1},\ldots,\varphi_{n}(t_{0})+\xi_{n}).$$
Тук числата $\xi_{i}=\varphi_{i}(t_{0}+h)-\varphi_{i}(t_{0})$ за всички $1 \le i \le n.$
Сега от диференцируемостта на функцията $f(\mathbf{x})$ в точката $(\varphi_{1}(t_{0}), \ldots, \varphi_{n}(t_{0})$ (използваме дефиницията с о-малко символа. Защо? Защото завършва на о-малко. ).
$$F(t_{0}+h)-F(t_{0})=f'(\varphi_{1}(t_{0}), \ldots, \varphi_{n}(t_{0}))\circ(\vec{\xi})+o(|| \vec{\xi}||)=\sum_{i=1}^{n}\frac{\partial f}{\partial x_{i}}(\varphi_{1}(t_{0}), \ldots, \varphi_{n}(t_{0})).\xi_{i} + o(||\vec{\xi} ||),$$
при евклидовата норма $||\vec{\xi}|| \rightarrow 0.$(Тук $o(|| \vec{\xi}||)$ просто е величина, която клони към нула по-бързо отколкото евлидовата норма клони към нула, при $\vec{\xi} \rightarrow \vec{\mathcal{O}}.$)
$$\frac{F(t_{0}+h)-F(t_{0})}{h}=\sum_{i=1}^{n}\frac{\partial f}{\partial x_{i}}(\varphi_{1}(t_{0}), \ldots, \varphi_{n}(t_{0})).\frac{\xi_{i}}{h} + \frac{o(||\vec{\xi} ||)}{h}=\sum_{i=1}^{n}\frac{\partial f}{\partial x_{i}}(\varphi_{1}(t_{0}), \ldots, \varphi_{n}(t_{0})).\frac{\varphi'(\theta).h}{h} + \frac{o(||\vec{\xi} ||)}{h}.$$
Това последното, защото $\xi_{i}=\varphi_{i}(t_{0}+h)-\varphi_{i}(t_{0})=\varphi_{i}'(\theta).h,$ където $\theta$ се намира между $t_{0}+h$ и $t_{0}.$
Представяме $o(||\vec{\xi}||)=\sqrt{\xi_{1}^{2}+\ldots+\xi_{n}^{2}}.\mathcal{V},$ където $\mathcal{V} \rightarrow 0,$ при $||\vec{\xi}|| \rightarrow 0 \Leftrightarrow h \rightarrow 0.$
Това за да можем да направим така: $\frac{o(||\vec{\xi}||)}{h}=\frac{\sqrt{\xi_{1}^{2}+\ldots+\xi_{n}^{2}}.\mathcal{V}}{h}=\sqrt{\left(\frac{\xi_{1}}{h} \right)^{2} + \ldots + \left(\frac{\xi_{n}}{h} \right)^{2}} \mathcal{V}=\sqrt{\sum_{i=1}^{n}\varphi'_{i}(t_0)}.\mathcal{V} \longrightarrow_{h \rightarrow 0} 0.$
Остана само да направим граничен преход в равенството с диференчното частно за F, при $h \rightarrow 0$ и получаваме "верижното правило".

edit: в последната сума под корена бях написал без да искам тита, а не т-нулево.