Граница на функции

[Lackluster Soldier]

Нека за непрекъснатите в интервала (2; 5) функции f(x) и g(x) е известно, че



Намерете :

1. f(3) и g(3)

2. [tex]\lim_{x \to 3}f(x)/g(x)[/tex]

3. f '(3) и g ' (3)

[Добромир Глухаров]

$3\in(2;5)\Rightarrow$ функциите $f(x)$ и $g(x)$ са непрекъснати за $x=3$

$\lim_{x\to3}\frac{f(x)}{x-3}=9;\ \lim_{x\to3}\frac{g(x)}{x-3}=3$

$1.)$ Ако $\lim_{x\to3}f(x)\neq0$ или $\lim_{x\to3}f(x)\neq0\Rightarrow\lim_{x\to3}\frac{f(x)}{x-3}=\pm\infty$ , съответно $\lim_{x\to3}\frac{g(x)}{x-3}=\pm\infty$ - противоречие.
$\Rightarrow\lim_{x\to3}f(x)=\lim_{x\to3}g(x)=0\Rightarrow$ ($f$ и $g$ са непрекъснати по условие) $f(3)=g(3)=0$

$2.)\ \lim_{x\to3}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to0}\frac{\frac{f(x)}{x-3}}{\frac{g(x)}{x-3}}=\frac{\lim_{x\to0}\frac{f(x)}{x-3}}{\lim_{x\to0}\frac{g(x)}{x-3}}=\frac{9}{3}=3$

$3.)$ По дефиниция $f'(x_0)=\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$ за произволна функция $f$, диференцируема в $x_0$
Така имаме $f'(3)=\lim_{x\to3}\frac{f(x)-f(3)}{x-3}=\lim_{x\to3}\frac{f(x)-0}{x-3}=9$ и $g'(3)=\lim_{x\to3}\frac{g(x)-g(3)}{x-3}=\lim_{x\to3}\frac{g(x)-0}{x-3}=3$