Въпрос за непрекъснатост.

[yoyo_fen]

Кое от следните е еквивалентно твърдение на f:a,b---> R e непрекъсната в [tex]x_0\in (a,b)[/tex] . Трябва доказателство или контрапример.

а) [tex]\exists \alpha >0[/tex] , такова че [tex]\forall \beta >0 , |x-x_0|<\alpha => |f(x)-f(x_0)|<\beta[/tex]
б) [tex]\forall \alpha >0[/tex] и [tex]\forall \beta >0[/tex], такива че [tex]|x-x_0|<\alpha => |f(x)-f(x_0)|<\beta[/tex]
в) [tex]\forall n\in N[/tex] [tex]\exists m \in N[/tex], такива че [tex]|x-x_0|<1/m => |f(x)-f(x_0)|< 1/n[/tex]

[veliko]

Отговор в)
Нека е вярна [tex]\epsilon-\delta[/tex] дефиницията.
Нека N е ПРОИЗВОЛНО естествено число.Тогава съществува [tex]\epsilon[/tex]>0 такова че [tex]\epsilon<\frac{1}{N}[/tex].
За това [tex]\epsilon[/tex] намираме [tex]\delta>0[/tex] че да е изпълнено [tex]|x-x0|<\delta => |f(x)-f(x0)| < \epsilon[/tex]. Но отново от свойствата на реалните числа имаме че съществува M естествено,че[tex]\delta>\frac{1}{M}[/tex]. Тогава [tex]|x-x0|<\frac{1}{M} <\delta => |f(x)-f(x0)|< \epsilon< \frac{1}{N}[/tex].
Така за произволно N намерихме търсеното М.
Обратната посока е аналогична. Ако не се оправиш пиши да ти я напиша.

б) няма нищо общо с непрекъснатост
а) => непрекъснатост, но непрекъснатост [tex]\not{=>}[/tex] а)

[Baronov]

От а) и б) следва, че функцията е константа.

[yoyo_fen]

Отговор в)
Нека е вярна [tex]\epsilon-\delta[/tex] дефиницията.
Нека N е ПРОИЗВОЛНО естествено число.Тогава съществува [tex]\epsilon[/tex]>0 такова че [tex]\epsilon<\frac{1}{N}[/tex].
За това [tex]\epsilon[/tex] намираме [tex]\delta>0[/tex] че да е изпълнено [tex]|x-x0|<\delta => |f(x)-f(x0)| < \epsilon[/tex]. Но отново от свойствата на реалните числа имаме че съществува M естествено,че[tex]\delta>\frac{1}{M}[/tex]. Тогава [tex]|x-x0|<\frac{1}{M} <\delta => |f(x)-f(x0)|< \epsilon< \frac{1}{N}[/tex].
Така за произволно N намерихме търсеното М.
Обратната посока е аналогична. Ако не се оправиш пиши да ти я напиша.

б) няма нищо общо с непрекъснатост
а) => непрекъснатост, но непрекъснатост [tex]\not{=>}[/tex] а)

Благодаря много! Само че вече го предадох

И аз направих подобно нещо на в). Дано да не ми пишат слаба оценка, че много се заяждат за детайлите. Написах обаче че епсилон = 1/n защото епсилон в дефиницията може да е всякакво положително число и оттам намирам делта и изразявам чрез m.

за б) и а) ми трябва доказателство. Направих го с контрапримери, но не съм сигурен дали е вярно.
за а) взех функцията f(x)=x и намерих несъответствие.
за б) взех функция, която да е прекъсната и доказах, че дефиницята която са дали е вярна, но функцията знаем, че е непрекъсната, следователно противоречие...

Абе тези неща в България учат ли се? Че отворих една дебела сравнително нова книга "Висша Математика" и там единствената дефиниция беше с граници, която е 100 пъти по-лесна, ама не ми дават да я ползвам още...

От а) и б) следва, че функцията е константа.

Това мисля, че не е вярно. Просто дефиницията не съвпада с тази за непрекъснатост.

[Baronov]

Абе тези неща в България учат ли се? Че отворих една дебела сравнително нова книга "Висша Математика" и там единствената дефиниция беше с граници, която е 100 пъти по-лесна, ама не ми дават да я ползвам още...

Учат се да.

От а) и б) следва, че функцията е константа.

Това мисля, че не е вярно. Просто дефиницията не съвпада с тази за непрекъснатост.

Аз пък си мисля, че е вярно. Интересно ми е какъв пример си дал, който изпълнява б) и не е константа.

[yoyo_fen]

f(x)=

{
x/|x| при х различно от 0
0 при х= 0
}

Най-вероятно си прав. За тези неща определено не претендирам, че имам знания, тъй като тепърва ги уча...