Тригонометрична граница

[Гост]

Намерете границата [tex]\lim_{x \to \frac{3\pi}{4}x_0}(tgx)^{cosx}[/tex], ако [tex]1+2x_0+3x_0^{2}+...=9[/tex].

[Гост]

Намерете границата [tex]\lim_{x \to \frac{3\pi}{4}x_0}(tgx)^{cosx}[/tex], ако [tex]1+2x_0+3x_0^{2}+...=9[/tex].

[tex]1+2x_0+3x_0^{2}+...=9\Rightarrow 2x_0+3x_0^{2}+...=8\Rightarrow x_0(2+3x_0+4x_0^{2}+...)=8\Rightarrow x_0(1+2x_0+3x_0^{2}...+1+x_0+x_0^{2}...)=8\Rightarrow x_0\left(9+\frac{1}{1-x_0}\right)=8\Rightarrow x_0=\frac{2}{3}[/tex]

[Davids]

Остава на свой ред да се реши границата:
$$L := \lim_{x\to\frac{\pi}{2}}(tgx)^{cosx}$$

Имаме:
$L = \lim_{x\to\frac{\pi}{2}} e^{cos(x)ln(tgx)} = e^{\lim_{x\to\frac{\pi}{2}}cos(x)ln(tgx)} = e^H$

Разглеждаме границата $H$:
$H = \lim_{x\to\frac{\pi}{2}}cos(x)ln(tgx) = \lim_{x\to\frac{\pi}{2}}\frac{ln(tgx)}{\frac{1}{cosx}} = \left[\frac{\infty}{\infty}\right]$

Значи можем да ползваме правилото на Лопитал:
$H \stackrel{L'Hospital}{=} \lim_{x\to\frac{\pi}{2}}\frac{(ln(tgx))'}{\left(\frac{1}{cosx}\right)'} = \lim_{x\to\frac{\pi}{2}} \frac{\frac{1}{tgx}\cdot\cancel{\frac{1}{cos^2x}}}{-\cancel{\frac{1}{cos^2x}}\cdot(-sinx)} = \lim_{x\to\frac{\pi}{2}}\frac{cosx}{sin^2x} = 0$

$\Longrightarrow L = e^H = e^0 = 1$
с което сме готови.