Функция - най-голяма и най-малка стойност

[complex]

Намерете най-голямата и най-малката стойност на функцията:
[tex]f(x, y) = xye^{-25x^2 - 9y^2}[/tex]
в затворения правоъгълник, заграден от правите x = 0, x = 1/5, y = 0, y = 1/3

[complex]

Нужна ми е помоща ви

[kerry]

http://stancho.roncho.net/HighMath2/Mul ... heory.html

[stflyfisher]

http://stancho.roncho.net/HighMath2/MultiVars/Extr/Extr/Theory/Theory.html

Задачата е за намиране на НГС и НМС на функция на две променливи в дадена област, а не на локален максимум и локален минимум на функция на две променливи. Разбира се, че се използват и горните знания, но са необходими и допълнителни изследвания.

[Kemchev]

А какви са точно тези допълнителни изследвания...? Каква е логиката...къде, какво се изследва

[stflyfisher]

А какви са точно тези допълнителни изследвания...? Каква е логиката...къде, какво се изследва

Логиката е подобна като на тази при намирането на НГС и НМС на функция на една променлива в даден затворен интервал.

Например; Да се намери НГС и НМС на [tex]y=x^2-3x-4, x \in [-2, 3][/tex]
1. Намира се лок. екстремум---> [tex]x_0=?[/tex]
2. Проверява се дали [tex]x_0 \in [-2, 3][/tex]
3. Ако е "ДА" се изчислява стойността на функцията [tex]y_0(x_0)=?[/tex]
4. Изчислява се стойността на функцията в краищата на интервала
5. Определя се НГС и НМС в този интервал от така намерените стойности на функията.

заб.1: Tази задача може да се реши и със знания за 10 клас, без намирането на лок екстремум.
заб 2: За функция на две промеливи се разглежда малко по-различно, но това е логиката.

[stflyfisher]

Според моите изчисления получих:

НМС: [tex]z(0,y)=z(x,0)=0[/tex]

НГС: [tex]z(\frac{sqrt{2}}{10}, \frac{sqrt{2}}{6})=\frac{1}{30e}[/tex]

п.п. поради липса на възможност, решението ще го пусна по-късно.

[stflyfisher]

Ето и обещаното решение на задачата:

Търси се НМС и НГС на функцията: [tex]z(x,y)=xye^{-25x^2-9y^2}[/tex] в затвoрения правоъгълник:
[tex]\Gamma: ABCD\begin{tabular}{|l}x=0\\x=\frac{1}{5}\\y=0\\y=\frac{1}{3} \end{tabular}=> A(0, \frac{1}{3})B(\frac{1}{5}, \frac{1}{3})C(\frac{1}{5},0)D(0,0)\equiv O(0,0)=>\begin{tabular}{|l}0\le x\le \frac{1}{5}\\0\le y\le \frac{1}{3} \end{tabular}[/tex]

[tex]z'_x=ye^{-25x^2-9y^2}(1-50x^2)[/tex]

[tex]z'_y=xe^{-25x^2-9y^2}(1-18y^2)[/tex]

[tex]\begin{tabular}{|l}z'_x=0\\z'_y=0 \end{tabular}=> \begin{tabular}{|l}ye^{-25x^2-9y^2}(1-50x^2)=0\\xe^{-25x^2-9y^2}(1-18y^2) =0\end{tabular}[/tex] [tex]=>[/tex] критични точки [tex]\in \Gamm:ABCO[/tex] са: [tex]M_0(0,0,), M_1(\frac{\sqrt{2}}{10}, \frac{sqrt{2}}{6})[/tex]


[tex]z''_{xx}=50xye^{-25x^2-9y^2}(50x^2-3)[/tex]

[tex]z''_{yy}=54xye^{-25x^2-9y^2}(6y^2-1)[/tex]

[tex]z''_{xy}=z''_{yx}=e^{-25x^2-9y^2}(1-50x^2)(1-18y^2)[/tex]

[tex]\Delta(x,y)=(e^{-25x^2-9y^2})^2.[50.54x^2y^2(50x^2-3)(9y^2-1)-(1-50x^2)^2(1-18y^2)^2][/tex]

За [tex]M_0(0,0)=>\Delta(0,0)=-1<0=>[/tex] няма лок. екстремум

За [tex]M_1(\frac{\sqrt{2}}{10}, \frac{sqrt{2}}{6})=>\Delta(\frac{\sqrt{2}}{10},\frac{sqrt{2}}{6})=3>0=>[/tex] има лок. екстремум

[tex]z''_{xx}(\frac{\sqrt{2}}{10},\frac{sqrt{2}}{6})=-2<0=>[/tex] лок. максимум

[tex]z_{max}(x,y)=z(\frac{\sqrt{2}}{10},\frac{sqrt{2}}{6})=\frac{1}{30e}[/tex]

п.п. Край на първа част. Следва продължение ....

[stflyfisher]

Продължението...

Изследване на функцията по контурите на областта [tex]\Gamma:ABCO[/tex]

1) По контура [tex]OA:\begin{tabular}{|l}x=0\\0\le y\le \frac{1}{3} \end{tabular} =>z(x,y)=z(0,y)=z(y)=0[/tex]

2) По контура [tex]OC:\begin{tabular}{|l}0\le x\le \frac{1}{3}\\y=0 \end{tabular} =>z(x,y)=z(x,0)=z(x)=0[/tex]

3) По контура [tex]AB:\begin{tabular}{|l}0\le x\le \frac{1}{5}\\ y= \frac{1}{3} \end{tabular} =>z(x,y)=z(x,\frac{1}{3})=z(x)=\frac{1}{3}xe^{-25x^2-1}[/tex]

[tex]z'(x)=\frac{1}{3}e^{-25x^2-1}(1-50x^2)[/tex]

[tex]z'(x)=0<=>\frac{1}{3}e^{-25x^2-1}(1-50x^2)=0=> x_1=\frac{\sqrt{2}}{10} \in AB[/tex]

[tex]z(x_1)=z(\frac{\sqrt{2}}{10})=\frac{\sqrt{2}}{30e^{\frac{3}{2}}[/tex]

[tex]z(0)=0[/tex]

[tex]z(\frac{1}{5})=\frac{1}{15e^2}[/tex]

4) По контура [tex]BC:\begin{tabular}{|l} x= \frac{1}{5}\\0\le y\le \frac{1}{3} \end{tabular} =>z(x,y)=z(\frac{1}{5}, y)=z(y)=\frac{1}{5}ye^{-1-9y^2}[/tex]

[tex]z'(y)=\frac{1}{5}e^{-1-9y^2}(1-18y^2)[/tex]

[tex]z'(y)=0<=>\frac{1}{5}e^{-1-9y^2}(1-18y^2)=0=>y_1=\frac{sqrt{2}}{6} \in BC[/tex]

[tex]z(y_1)=z(\frac{sqrt{2}}{6})=\frac{\sqrt{2}}{30e^{\frac{3}{2}}[/tex]

[tex]z(0)=0[/tex]

[tex]z(\frac{1}{3})=\frac{1}{15e^2}[/tex]

_____________________________________________________________________________________

От получените стойности на функцията:

[tex]z_1(\frac{\sqrt{2}}{10}, \frac{\sqrt{2}}{6})= \frac{1}{30e}[/tex]

[tex]z_2(0,y)=0[/tex]

[tex]z_3(x,0)=0[/tex]

[tex]z_4(\frac{\sqrt{2}}{10}, \frac{1}{3})= \frac{\sqrt{2}}{30e^{\frac{3}{2}}[/tex]

[tex]z_5(0, \frac{1}{3})=0[/tex]

[tex]z_6(\frac{1}{5}, \frac{1}{3})=\frac{1}{15e^2}[/tex]

[tex]z_7(\frac{1}{5}, \frac{\sqrt{2}}{6})=\frac{\sqrt{2}}{30e^{\frac{3}{2}}[/tex]

[tex]z_8(\frac{1}{5},0)=0[/tex]

[tex]z_9(\frac{1}{5}, \frac{1}{3})=\frac{1}{15e^2}[/tex]



[tex]=>[/tex]



НМС на [tex]z(x,y)=xye^{-25x^2-9y^2}[/tex] в затвoрения правоъгълник:

[tex]ABCO : \begin{tabular}{|l}x=0\\x=\frac{1}{5}\\y=0\\y=\frac{1}{3} \end{tabular}[/tex]

е:

[tex]z(x,0)=z(0,y)=0[/tex]



НГС на [tex]z(x,y)=xye^{-25x^2-9y^2}[/tex] в затвoрения правоъгълник:

[tex]ABCO : \begin{tabular}{|l}x=0\\x=\frac{1}{5}\\y=0\\y=\frac{1}{3} \end{tabular}[/tex]

е:

[tex]z(\frac{\sqrt{2}}{10},\frac{\sqrt{2}}{6})=\frac{1}{30e}[/tex]

Край