Помощ с един несобствен интеграл

[rexxarr]

[tex]\int_{0}^{{\infty} } \frac{x^3-1}{x^7+4x+2}dx[/tex]

Да се изследва за сходимост несобствения интеграл . Ако може с малко информация как се решава . Благодаря предварително

[stflyfisher]

[tex]\int_{0}^{{\infty} } \frac{x^3-1}{x^7+4x+2}dx[/tex]

Да се изследва за сходимост несобствения интеграл . Ако може с малко информация как се решава . Благодаря предварително

Сигурно ли е, че най-високата степен на [tex]x[/tex] в знаменателя е 7?

[martin.nikolov]

Знаменателя е положителен в този интервал, следователно не е нула и несобственоста на интеграла е само заради безкрайния интервал. Интеграла ще е сходящ тогва и само тогава когато интеграла от едно до безкрайност е сходящ. Това само за да избегнем нулта и да може да делим на хикс. Тогава правиш следното

[tex]\frac{x^3-1}{x^7+4x+2}<\frac{x^3}{x^7+4x+2}=\frac1{x^4+\frac4{x^2}+\frac2{x^3}}<\frac1{x^4}[/tex]

Интеграл от последната фунция е сходящ, следователно и първия е.

[Гост]

Моля, за помощ с един несобствен интеграл:
[tex]I = \int\limits_{0}^{\infty} e^{-2x}cosxdx[/tex]

[Добромир Глухаров]

[tex]I=\int\limits_0^{\infty}e^{-2x}cosxdx=\int\limits_0^{\infty}e^{-2x}dsinx=e^{-2x}sinx|_0^\infty-\int\limits_0^{\infty}sinxde^{-2x}=\\=0.sin\infty-1.0-(-2)\int\limits_0^{\infty}e^{-2x}sinxdx=2.(-1)\int\limits_0^{\infty}e^{-2x}dcosx=-2.e^{-2x}cosx|_0^\infty+2.\int\limits_0^{\infty}cosxde^{-2x}=\\=-2.e^{-\infty}cos\infty+2.e^0.cos0+2.(-2)\int\limits_0^{\infty}e^{-2x}cosxdx=0+2-4I[/tex]

[tex]5I=2[/tex]

[tex]I=\frac{2}{5}[/tex]

Използвани са границите: [tex]\lim_{x\to 0}e^{-2x}=e^0=1;\ \lim_{x\to \infty}e^{-2x}=e^{-\infty}=0;\ \lim_{x\to 0}sinx=sin0=0;\ \lim_{x\to 0}cosx=cos0=1[/tex] и факта, че [tex]sinx[/tex] и [tex]cosx[/tex] са ограничени ([tex]|sinx|\le 1;\ |cosx|\le 1[/tex]). Поради последното [tex]\lim_{x\to \infty}e^{-2x}.sin x=0\ и\ \lim_{x\to \infty}e^{-2x}.cos x=0[/tex]

[Гост]

Благодаря Ви много!