Функция-ред (от стария форум)

[seppen]

http://www.math10.com/forumbg/viewtopic.php?t=12794

[martin123456]

Нека [tex]a \in \mathbb{R}, a>1, n \in \mathbb{N}[/tex]. [tex]f(n)=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{k^n}{a^k}[/tex]. Да се намери [tex]f(1)[/tex] и да се изрази [tex]f(n)[/tex] с [tex]f(1),f(2),\ldots, f(n-1)[/tex], [tex]n>1[/tex]. Възможно ли е да се изрази [tex]f(n)[/tex] с [tex]a,n[/tex]?
полагаме [tex]\frac{1}{u}=a \Rightarrow f(n)=\sum_{k=1}^{\infty}{k^nu^k}[/tex].
a) [tex]f(1)=\sum_{k=1}^{\infty}{ku^k}=\sum_{k=1}^{\infty}{(k+1)u^k}-\sum_{k=1}^{\infty}{u^k}=(\sum_{k=1}^{\infty}{u^{k+1}})'-\sum_{k=1}^{\infty}u^k[/tex]. Имаме [tex]\sum_{k=1}^{\infty}{u^k}=u+u^2+u^3+\cdots = u(1+u+u^2+\cdots)=\frac{u}{1-u}[/tex], понеже [tex]\frac{1}{u}>1 \Leftrightarrow \frac{1-u}{u}> 0 \Leftrightarrow u \in (0,1)[/tex]. Също, [tex]\sum_{k=1}^{\infty}u^{k+1}=u^2+u^3+\cdots=\sum_{k=1}^{\infty}u^k - u=\frac{u}{1-u} -u=\frac{u^2}{1-u} \Rightarrow (\sum_{k=1}^{\infty}u^{k+1} )'=\frac{2u-u^2}{(1-u)^2}[/tex]. Оттук [tex]f(1)=\frac{2u-u^2}{(1-u)^2}-\frac{u}{1-u}=\frac{u}{(1-u)^2}=\frac{a}{(a-1)^2}[/tex]

[Добромир Глухаров]

[tex]f(n)=\frac{a}{1-a}\sum_{p=1}^{n-1}(-1)^p.\left(\begin{array}{c}{n\\p}\end{array}\right).f(n-p)+(-1)^{n-1}\cdot\frac{a}{(a-1)^2}[/tex]

Дали е вярно?

[martin123456]

опитах се изведа нещо, ама стана много дълго
тръгнах от [tex]f(n+1)=uf'(n)[/tex] и като използвах формулата на Лайбниц се вижда че [tex]f(n+1)=uf'(n-k)+a_2u^2f''(n-k)+a_3u^3f'''(n-k)+\cdots +u^{k+1}f^{(k+1)}(n-k)[/tex], където [tex]a_i[/tex] са някакви коефициенти, които се смятат. обаче става много дълго.

[Добромир Глухаров]

[tex]f(n)=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{k^n}{a^k}=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(k-1)^n}{a^{k-1}}[/tex]

[tex]f(n)=a\left[\sum_{k=1}^{\infty}\frac{k^n}{a^k}-\left(\begin{array}{c}n\\1\end{array}\right)\sum_{k=1}^{\infty}\frac{k^{n-1}}{a^k}+\left(\begin{array}{c}n\\2\end{array}\right)\sum_{k=1}^{\infty}\frac{k^{n-2}}{a^k}+\cdots+(-1)^p\left(\begin{array}{c}n\\p\end{array}\right)\sum_{k=1}^{\infty}\frac{k^{n-p}}{a^k}+\cdots+(-1)^{n-1}\left(\begin{array}{c}n\\n-1\end{array}\right)\sum_{k=1}^{\infty}\frac{k}{a^k}+(-1)^n\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{a^k}\right][/tex]

[tex]f(n)=a\left[f(n)-\left(\begin{array}{c}n\\1\end{array}\right)f(n-1)+\left(\begin{array}{c}n\\2\end{array}\right)f(n-2)+\cdots+(-1)^{n-1}\left(\begin{array}{c}n\\n-1\end{array}\right)f(1)+(-1)^n\cdot\frac{1}{a}\cdot\frac{1}{1-\frac{1}{a}}\right][/tex]

[tex](1-a)f(n)=a\sum_{p=1}^{n-1}(-1)^p\left(\begin{array}{c}n\\p\end{array}\right)f(n-p)+(-1)^n\frac{a}{a-1}[/tex]