Задачи от писмен изпит по анализ 2

[m1ke]

Ще съм много благодарен, ако някой успее да ги реши.

[complex]

[tex]\int_0^{+\infty} \! x^n e^{-x} \, dx = \int_0^1 \! x^n e^{-x} \, dx + \int_1^{+\infty} \! x^n e^{-x} \, dx[/tex]

[tex]\int_0^1 \! x^n e^{-x} \, dx = \int_0^1 \! x^n \, dx[/tex] защото [tex]e^{-x} \to 1[/tex] при [tex]x \to 0[/tex]
следователно, за да е сходяща [tex]n> -1[/tex]

[tex]\int_1^{+\infty} \! \frac{1}{x^2 } \, dx[/tex] e сходящ!
[tex]\lim_{n \to \infty} \frac{x^n e^{-x}}{\frac{1}{x^2 }} = \lim_{n \to \infty} \frac{x^{2 + n}}{e^{x}} = 0[/tex]
[tex]\int_1^{+\infty} \! x^n e^{-x} \, dx \le \int_1^{+\infty} \! \frac{1}{x^2 } \, dx[/tex] , който е сходящ
следователно [tex]\int_1^{+\infty} \! x^n e^{-x} \, dx[/tex] също е сходящ

[seppen]

Това май е [tex]\normal \Gamma (n+1)=n![/tex]

Лека техническа поправка.

[tex]\lim_{n \to \infty} \frac{x^n e^{-x}}{\frac{1}{x^2 }} = \lim_{n \to \infty} \frac{x^{2n}}{e^{-x}} = 0[/tex]

[tex]\lim_{x\to \infty} \frac{x^n e^{-x}}{\frac{1}{x^2}} = \lim_{x\to \infty} \frac{x^{n+2}}{e^x} = 0[/tex]
След прилагане на Лопитал много пъти.

[WEBER]

Само [tex]e^{-x}[/tex] като отиде в знаменател става [tex]e^x[/tex].

[complex]

[tex]\lim_{x\to \infty} \frac{x^n e^{-x}}{\frac{1}{x^2}} = \lim_{x\to \infty} \frac{x^{n+2}}{e^x} = 0[/tex]
След прилагане на Лопитал много пъти.

По друг по-лесен начин може да се обясни, а той е, че [tex]e^x[/tex] при [tex]x \to \infty[/tex] расте много по-бързо от [tex]x^{2+n}[/tex], и следователно става нещо върху безкрайност, което е равно на нула

[mkmarinov]

^
То и [tex]\frac{1}{x}[/tex] клони към нула, но интегралът му от едно до безкрай не е ограничен.