Да се покаже, че областта от функционални стойности на f(x)

[Гост]

1.Дадена е линейната функция f(x)=ax+b. Да се покаже, че областта от функционални стойности на f(x) e (-∞;∞)

2.Да се намерят екстремумите на функцията z=[tex]\sqrt[5]{ x-1^{4}* y-2^{4} }[/tex]

3. [tex]\int\limits_{0}^{1} x^{4}- e^{-x} dx[/tex]

От снимката само а) на 6.14 задача ми трябва. Донякъде съм я решила,но не мога да продължа.

[ammornil]

3) [tex]I=\int\limits_{0}^{1}(x^4-e^{-x})dx = \int\limits_{0}^{1}x^4dx- \int\limits_{0}^{1}e^{-x}dx = I_1-I_2[/tex]

[tex]I_1= \int\limits_{0}^{1}x^4dx = (\frac{x^5}{5})|^{^{1}}_{_{0}}=\frac{1^5}{5}-\frac{0^5}{5}=\frac{1}{5}[/tex]

[tex]I_2=\int\limits_{0}^{1}e^{-x}dx=(-e^{-x})|^{^{1}}_{_{0}}=(-е)^{-1}-(-e)^{0}=-\frac{1}{e}-1[/tex]

[tex]I= I_1-I_2= \frac{1}{5} -(-\frac{1}{e}-1)=\frac{1}{5}+\frac{1}{e}+1=\frac{6e+5}{5e}[/tex]

Доказателство на неопределения интрал с Неперова основа на степента
[tex]полагаме \ u = -x \Rightarrow \frac{du}{dx} = -1 \Rightarrow dx = -du[/tex]
[tex]\int e^{-x}dx = \int (-e^{u})du = -\int e^{u}du = -e^{u} + C = -e^{-x} + C[/tex]

[ammornil]

2) Не е много ясно условието както е записано.
Допускам, че задачата има условие: да се намерят екстремумите на функцията [tex]z(x,y)=\sqrt[5]{ (x-1)^{4}.(y-2)^{4} }[/tex]

Решение:
[tex]z(x,y)= (x-1)^{\frac{4}{5}}.(y-2)^{\frac{4}{5}} = u(x).v(y)[/tex]
[tex]u(x)=(x-1)^{\frac{4}{5}} \Rightarrow u'(x)=\frac{4}{5}.(x-1)^{1-\frac{4}{5}}.1=\frac{4}{5}.(x-1)^{-\frac{1}{5}}[/tex]
[tex]v(y)=(y-2)^{\frac{4}{5}} \Rightarrow v'(y) = \frac{4}{5}.(y-2)^{1-\frac{4}{5}}.1=\frac{4}{5}.(y-2)^{-\frac{1}{5}}[/tex]
[tex]\frac{\partial z}{\partial x}=v(y).u'(x), \frac{\partial z}{\partial y}=u(x).v'(y), \frac{\partial z}{\partial x \partial y}=u'(x).v'(y)[/tex]
Функцията [tex]z(x,y)[/tex] е диференцируема и непрекъсната в интервала на реалните числа, следователно ако има локални естрмуми то всички първи частни производно в точката на екстрмума ще имат стойност нула (допирателните равнини за всяка независима променлива в точката на екстремума ще са успоредни на съответстващите едичнични вектори).
[tex]Dz(x,y) = [0, 0] \Rightarrow \frac{\partial z}{\partial x}=0 \cap \frac{\partial z}{\partial y}=0[/tex]
В дадения случай, това се удовлетворява когато x и y са едновременно равни на 0. При това, втората частна производна приема приема положителна стойност за (х,у) = (0,0), следователно имаме локален минимум.
​[tex]z(x,y)_{min}=z(0,0)=(0-1)^{\frac{4}{5}}.(0-2)^{\frac{4}{5}}=[-1.(-2)]^{\frac{4}{5}}=\sqrt[5]{2^{^{4}}}[/tex]

*прегледай за грешки при пренасянето на функциите и диференцирането, но методологията по спомени трябва да е тази.

[ammornil]

1) Дадена е линейната функция f(x)=ax+b. Да се покаже, че областта от функционални стойности на f(x) e (-∞;∞)
С други думи: да се докаже, че всяка линейна функция е непрекъсната в множеството на реалните числа. Това, според мен, би трябвало да бъде показвано в час (или на лекции, или на упражнения), защото е базово за непрекъснатост. Признавам си, аз не помня доказателството, но това ми е от записките от две хиляди и малка година...

(а) Ако [tex]а=0[/tex] то [tex]f(x)[/tex] е константа и следователно е дефинирана, и равна на стойността на b за всяко х.

(б) Ако [tex]а \ne 0[/tex]
[tex]\lim_{x \to -\infty }(ax+b) = -\infty[/tex]
[tex]\lim_{x \to +\infty }(ax+b) = +\infty[/tex]
За да докажем, че функцията е дефинирана ще проверим дали функцията е диференцируема в околностите на произволна стойност на х.
[tex]Нека \ \delta >0, \delta \rightarrow 0,\ тогава \lim_{x-(x-\delta) \to 0}\frac{f(x)-f(x-\delta)}{x-(x-\delta)} = ...= \frac{ax+b-a(x-\delta)-b}{\delta} = \frac{ax+b-ax+a\delta -b}{\delta} = a[/tex]
Функцията е диференцируема, следователно е непрекъсната.

[Гост]

Благодаря много! За тази задача обаче нещо се оплетох .
2.Да се намерят екстремумите на функцията z=\displaystyle \sqrt[5]{ x-1^{4}* y-2^{4} }

Забравих да напиша вчера,че отговорът е: няма строг екстремум,има нестрог локален минимум zmin = z(1,2) = 0


​

​

[ammornil]

Да, правилно. Допуснал съм грешка при намирането на нулите на първите частни производни.
Първите частни производни стават нула за х=1 и у=2.
Затова локалният минумум ще е:
[tex]z(x,y)_{min}=z(1,2)=0[/tex]