Неопределен интеграл

[Гост]

$ \int_{0}^{\infty}\frac{ \sqrt{x}cosx}{x+sinx} \,dx $ дали е сходящ или разходящ?

За $x\geq1$

$|\frac{ \sqrt{x}cosx}{x+sinx}|<|\frac{ \sqrt{x}}{x+sinx}|<|\frac{ \sqrt{x}}{sinx+sinx}|<|\frac{ \sqrt{x}}{sinx}|<\sqrt{x}$.
но интегралътl $ \int_{1}^{\infty}\frac{ \sqrt{x}}{sinx} \,dx $ е разходящ, защото интегралът $ \int_{1}^{\infty}\sqrt{x} dx =x^{\frac{3}{2}}.\frac{2}{3}=\infty $, но значи не можем да кажем какво се случва с оригиналния интеграл.

От друга страна

$|\frac{ \sqrt{x}cosx}{x+sinx}|>\frac{cosx}{2x^{\frac{1}{2}}}>\frac{cosx}{x^{\frac{1}{2}}}$.

Но интегралът
$ \int_{1}^{\infty}\frac{cosx}{x^{\frac{1}{2}}} \,dx $ е сходящ
Имам и тази идея:

да разгледаме интеграла $ \int_{0}^{\infty}\frac{\sqrt{x}}{x+1} \,dx=2(\sqrt{x}-arctg{\sqrt{x}})=\infty $ , който е разходящ, а значи и оригиналният

Моля за помощ!