Обем на тяло с троен интеграл?

[YasenD]

В примерни изпитни теми по Математика 2 има такива задачи като от снимката (надявам се да се е качила)

Може ли да покажете детайлно решение, защото в изпратените материали от асистента и лектора няма нищо такова
Ако изпратите и линк, където в учебник е описано как се решават точно тези ще съм адски благодарен!

[Sup3rlum]

Когато търсиш обем на тяло в тризмерно пространство търсиш:

$\iiint_{\Gamma}\rho(x,y,z)dV$ където $\Gamma$ е описание на тялото, а $\rho$ е функцията за плътност. Така като се търси обем, $\rho(x,y,z)=1$ (можеш да си го представиш като - на всяка обемна единица се полага - една мерна единица; във физичния случай, крайният резултат е масата на тялото, което в този случай съотвества на обема).

Следователно търсим:
$\iiint_{\Gamma}dV=\iiint_{\Gamma}dxdydz$

Сега гледайки неравенствата, изглежда че най-добре ще е да сменим координатната система с цилиндрична (интуитивно, че имаме биквадратно в x и y, и линейно в z).

Промяната на координатната система в цилиндрична се прави по същият начин и като в полярна в две измерения, с допълнително запазване на z:

$x=rcos\phi$
$y=rsin\phi$
$z=z$

От тук, чрез заместване, получаваме следните неравенства:
$1<r<3$
$0<\phi<2\pi$
$2<z<2rcos\phi+3rsin\phi +13$

Следващата стъпка е да намерим как смяната на координатната система променя диференциалният обем. Това се намира чрез Джакобианата:

$dxdydz=\big|\frac{\del(x,y,z)}{\del(r,\phi,z)}\big|drd\phi dz$
$dxdydz=rdrd\phi dz$

И накрая получаваш интегралът:
$\iiint_{\Gamma} rdrd\phi dz$
След като сложиш границите и оправиш реда на интегриране, получаваш:

$\int_1^3\int_0^{2\pi}\int_2^{2rcos\phi+3rsin\phi+x}rdzd\phi dr$

И тука вече си ти (дано да не съм объркал нещо, пиша от телефон)