Да се намери границата (тежка):

[NetGh0st]

[yoyo_fen]

-1/2 ли е отговора?

[NetGh0st]

Не зная, постни решението. Wolfram Alpha не може да го реши. Ти как го реши ?

Предполагам обаче, че е 0 отговора. По графиката се ориентирам, но не мога да го докажа.

[yoyo_fen]

Ами попринцип е дълго решението и не мога да се оправям много добре с Latex-a.

Ще се опитам на стъпки.
1.) Общ знаменател
2.) Рационализираш числителя (умножаваш по [tex]sqrt(x^2+x+1)+sqrt(x^2+1)*ln(e^x+1)[/tex]), тогава в числителя ти се махат знаменателите.
3.) Опростяваш малко в числителя и изкарваш и в числителя и в знаменателя x на най-високата степен. трябва да 4та.
4.) После виждаш че наляво надясно ти се получават 1/х или [tex]1/x^2[/tex] които клонят към нула.
5.) Така горе получавам [tex]1- ln^2(e^x+x) / x^4 - ln^2(e^x+x) / x^2[/tex], a долу [tex]1+ ln^2(e^x+x) / x^2[/tex]
6.) И така. Остава само да намерим границата на този логаритъм, която аз получих че е 1 използвайки лопитал.
7.) горе става -1, долу става 2

Разпиши го така. Ако не ти се получи, ще отделя време утре да го напиша
(Може да има грешки или да не е вярно. Напълно съм нов в този форум и не съм много наясно с нещата )

Успех

[mkmarinov]

Получавам 1/2, Graph ме потвърждава, но всички математици ще ме отречат заради това:
[tex]e^x+x\approx e^x[/tex] => [tex]\frac{ln(e^x+x)}{x} \approx \frac{ln(e^x)}{x}=1[/tex].
Нататък - рационализация и делене числител и знаменател на х.

[2sxy4u]

Дами и господа, тази задача е една от свръх-секретните магии на ДС. Ако не сте от посветените и не ви я е решавала на упражнения сте обречени на безславна гибел в дебрите на Шефо Лопитала. Границата на натуралния логаритъм в/у х е 1, представяте го като нещо клони към 0 + нещо, което клони към 1. Следва заместване и съмнителен граничен преход (който ДС използва, но би приела на листа ви от изпита само, ако е сряда и е топло), получава се, че границата е равна на единия корен минус другия. Отг: 1/2