Меню
" [tex]\int\limits_{a}^{b} f(x)dx=\int\limits_{a+c}^{b+c} f(x-c)dx[/tex] и [tex]\int\limits_{a}^{b}f(x)dx = \frac{1}{k}\int\limits_{ka}^{kb}f(\frac{x}{k})dx[/tex] "намекват" обобщение на следният интеграл: [tex]\int\limits_{a}^{b}f(Ax + B)dx[/tex]. Предположете формулата за [tex]A \neq 0[/tex] и я докажете с помощта на гореспоменатите свойства."
Самата задача е тривиална след като разбереш какво пита
. Обаче при мен има един основен въпрос за свойствата, защото в зависимост от интерпретацията се получават различни отговори. Моят отговор беше [tex]\int\limits_{a}^{b}f(Ax + B)dx = \frac{1}{A}\int\limits_{A(a + B)}^{A(b + B)}f(x)dx[/tex]
Обаче, в интернет има един блог с решения на задачите от книгата. Там отговорът беше следният:
[tex]\int\limits_{a}^{b}f(Ax + B)dx = \frac{1}{A}\int\limits_{Aa + B}^{Ab + B}f(x)dx[/tex]
Доказателстваата следват тривиално от първите 2 свойства. Разликите в достигането на отговорите са следните:
1. Редът, в който са използвани свойствата
2. Начинът, по който е използвано второто свойство (разширяване/съкращаване на интервала)
Аз първо използвах свойството на транслацията (1-вото) и после разширих интервалът. В другото решение, първо беше разширен интервалът, и после изпълнена транслацията с B. Но във второто решение, при прилагане на свойството на разширяване на интервалът, той не разделя целият аргумент на фукнцията по следният начин [tex]f(\frac{Ax +B}{A})[/tex], а по този [tex]f(\frac{Ax}{A} + B)[/tex]. Това мен ме обърква. Кой е сгрешил? Ако вторият начин е правилен, то тогава как ще се отнесем, например, със подобна задача за следният интеграл:
[tex]\int\limits_{a}^{b}f(Ax^2 + Bx +C)dx[/tex]
Или пък с обобщена версия:
[tex]\int\limits_{a}^{b}f(\sum\limits_{k=0}^{n}c_k x^k)dx[/tex] където [tex]n \in \mathbb{Z}^+[/tex] и [tex]c_k[/tex] е константа за всяко [tex]k[/tex]
