Задача за редица

[Гост]

Здравейте, дали някой може да помогне тук

1.png (20.02 KiB) Прегледано 406 пъти

[Nathi123]

x[tex]_{1 }= \sqrt{2} \Rightarrow x _{2 }= \sqrt{2+ \sqrt{2} }; \sqrt{2+ \sqrt{2} }>0; \sqrt{2}>0 \Rightarrow \sqrt{2}< \sqrt{2+ \sqrt{2} } \Leftrightarrow 2+ \sqrt{2}>2 \Leftrightarrow[/tex]
[tex]\Leftrightarrow \sqrt{2}>0[/tex]- изпълнено;т.е. [tex]x_{2 }> x_{1 }[/tex];да допуснем,че [tex]x_{k }> x_{k-1 }[/tex]и ще докажем,че [tex]x_{k+1 }> x_{k } \Leftrightarrow \sqrt{2+ x_{k } }> \sqrt{2+ x_{k-1 } }>0[/tex]
[tex]\Leftrightarrow x_{k }> x_{k-1 }[/tex] ( изпълнено по допускане) . Значи дадената редица е монотонно растяща и ограничена от числото 2.Доказва се пак по индукция,че за всяко n e изпълнено : x[tex]_{n }<2[/tex]. Следователно редицата е сходяща.Нека [tex]\lim_{n\to \infty }x _{n } =l[/tex]. От равенството [tex]x_{х+1 }= \sqrt{2+ x_{n } }[/tex]
и теоремите за сходящи редици [tex]\Rightarrow l= \sqrt{2+l} \Leftrightarrow l ^{2 }=2+l[/tex] (1).От начина на задаване на тази числова редица е ясно,че членовете и са положителни числа.Тогава от определението за граница на числова редица следва,че и l>0.Така определяме ,че търсената граница е положит . корен на квадратното уравнение (1) т.е. l=2.

[peyo]

Здравейте, дали някой може да помогне тук

1.png

[tex]x_1 = \sqrt{2}[/tex]

[tex]x_{n+1} = \sqrt{2+x_n}[/tex]

[tex]x = \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+...}}}}[/tex]

[tex]x = \sqrt{2+x}[/tex]

[tex]x^2 = 2+x[/tex]

[tex]x^2 -x -2=0[/tex]

In [46]: solve(x**2-x-2)
Out[46]: [-1, 2]

2 e единственото смислено решение. Интересно, че отговора не зависи от $x_1$.