интеграли

[ivanka]

имам проблем с 3 интеграла не ми е ясно точно кой вид субституция да приложа и защо
[tex]\int sin^2 x/(sinx+2cosx)dx

\int (1+sinx)/(1+cosx).sinx dx

\int sinx.cosx/(sinx+cosx) dx[/tex]

[mkmarinov]

Вторият [tex]\int \frac{1+sinx}{1+cosx}sinx dx[/tex] ли е?
За третият:
от тъждеството [tex]2sinxcosx=(sinx+cosx)^2-1[/tex]
[tex]...=\frac{1}{2}\int \frac{(sinx+cosx)^2-1}{sinx+cosx} dx=\frac{1}{2}(\int \frac{(sinx+cosx)^2}{sinx+cosx}dx-\int \frac{dx}{sinx+cosx})=\\=\frac{1}{2}(\int (sinx+cosx)dx-\int \frac{dx}{sinx+cosx})[/tex].
Първият е елементарен, за вторият използвай [tex]sinx+cosx=\sqrt{2}cos(\frac{\pi}{4}-x)[/tex]

[ivanka]

не в знаменател е [tex]\int \frac{1+sinx}{sinx(1+cosx)}dx[/tex]
а някакво упътване за първия?

[ganka simeonova]

Ползвай универсалната субституция.

[ivanka]

когато прилагам универсалната субституция ми се получава [tex]\int \frac{4t^2}{(1+t^2)^2(1+t-t^2)} dx[/tex] не се ли получава твърде сложно така опитах с интегриране на рационални функции но направо е нерешимо по нататак по лесен вариант няма ли?

[martin.nikolov]

За първия може и така, макра че сигурно има и по-кратък метод. Първо пресмяташ интеграла

[tex]\int\frac1{\sin(x)+2\cos(x)}dx[/tex]

чрез универсалната субституция се свежда до

[tex]\int\frac1{1+t-t^2}dt[/tex]

който е по-лесен от този който получаваш, ако тръгнеш с универсалната в дадения интеграл, равен е на

[tex]\frac1{\sqrt{5}}\log\left(\frac{2t+\sqrt{5}-1}{-2t+\sqrt{5}+1}\right)[/tex]

Следователно

[tex]\int\frac1{\sin(x)+2\cos(x)}dx=\frac1{\sqrt{5}}\log\left(\frac{2tg\frac{x}2+\sqrt{5}-1}{-2tg\frac{x}2+\sqrt{5}+1}\right)[/tex]

Сега, нека

[tex]I_1=\int\frac{\sin^2(x)}{\sin(x)+2\cos(x)}dx[/tex]

и

[tex]I_2=\int\frac{\cos^2(x)}{\sin(x)+2\cos(x)}dx[/tex]

Пресмятаме

[tex]I_1+I_2=\int\frac{\sin^2(x)+\cos^2(x)}{\sin(x)+2\cos(x)}dx=\int\frac{1}{\sin(x)+2\cos(x)}dx=\frac1{\sqrt{5}}\log\left(\frac{2tg\frac{x}2+\sqrt{5}-1}{-2tg\frac{x}2+\sqrt{5}+1}\right)[/tex]

и

[tex]I_1-4I_2=\int\frac{\sin^2(x)-4\cos^2(x)}{\sin(x)+2\cos(x)}dx=\int(\sin(x)-2\cos(x))dx=-\cos(x)-2\sin(x)[/tex]

Понезе търсиш [tex]I_1[/tex] умножаваш първото по 4 и ги събираш за да намериш [tex]3I_1[/tex].