производни и интеграли

[Гост]

Намерете всички реални непрекъснати диференцируеми функции, за които е изпълнено, че [tex](f(x)) ^{2 }= \int\limits_{0}^{x}((f(t)) ^{2 } +(f'(t)) ^{2 })dt+1[/tex]

[vezni]

Предполагам, че се има предвид непрекъснато диференцируеми функции. Диференцираме двете страни:
$\frac{d}{dx}(f(x))^2=\frac{d}{dx}\left(\int_0^x\left((f(t))^2+(f'(t))^2\right)dt+1\right)=\frac{d}{dx}\int_0^x\left((f(t))^2+(f'(t))^2\right)dt$
$\frac{d}{dx}(f(x))^2=2f(x)f'(x)$
Понеже $f$ и $f'$ са непрекъснати, следва, че
$\frac{d}{dx}\int_0^x\left((f(t))^2+(f'(t))^2\right)dt=(f(x))^2+(f'(x))^2 $. Оттук
$2f(x)f'(x)=(f(x))^2+(f'(x))^2\Leftrightarrow \left(f'(x)-f(x)\right)^2=0\Leftrightarrow f'(x)-f(x)=0 $
Последното го умножи от двете страни с $e^{-x}\ne 0$:
$e^{-x}f'(x)-e^{-x}f(x)=0\Leftrightarrow\left(e^{-x}f(x)\right)'=0$
Следователно $e^{-x}f(x)=c\Leftrightarrow f(x)=ce^{x}$, където $c$ е константа.
Сега остава да се замести в първоначалното уравнение.
$c^2e^{2x}=\int_0^x2c^2e^{2t}dt+1=c^2e^{2x}-c^2+1\Leftrightarrow 1-c^2=0\Leftrightarrow c=\pm 1$
Отговор: $f(x)=e^{x}$ и $f(x)=-e^{x}$